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数と式|数の定義について

高校数学で扱う数の分類数学I

高校数学で扱う数を学習します。数の再定義と言っても良いかもしれません。

高校数学で扱う数の範囲は、中学以前と比べてとても広くなります。整数値が出てきたらラッキーくらいに考えておいた方が良いかもしれません。初めのうちは「~の範囲で答えなさい」と言った親切な問題もありますが、そのうち親切な但し書きもなくなります。

高校数学で扱う数にできるだけ早く慣れましょう。

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高校数学で扱う数の分類

高校で扱う数を分類すると、以下のようになります。

数の分類

高校で扱う数は、実数の範囲にある数を対象としています。中学までで扱っていた数は、実数、あるいは有理数の一部になります。今まで扱ってきた数の総称や定義を覚えるだけです。

有理数と無理数が対の関係になっていたり、有理数には整数、有限小数、無限小数などがあったりなどと、それぞれの数で属する範囲があります。自分の扱う数がどんな数かを分かって使えるようになりましょう。

実数の定義

実数とは、実体があり、実際に測ることのできる数のことです。普段から四則計算で扱っている数のことなので、特に難しく考える必要はありません。また、実数は有理数と無理数の総称でもあります。

ちなみに実数と対になり、実体のない数は虚数(「複素数」の単元で学習します)。

有理数と無理数の定義とその違い

有理数と無理数はともに実数の範囲にある数で、その違いは分数で表せるかどうかです。有理数は分数で表すことができ、それに対して無理数は分数で表すことができません。

有理数

分数で表せる有理数は、整数、循環小数、有限小数の3種類に分類できます。

整数は基本的に分数で表しませんが、計算などでは分数で表すこともあり、ちゃんと有理数の定義に当てはまる数です。また、有限小数は、名前の通り有限な小数で、小数点以下に必ず終わりがある小数です。

有限小数に対して、循環小数は、小数点以下が無限に続き、小数点以下に同じ数字の繰り返しが現れる小数です。数字が循環しても、無限に続くのであれば、分数で表せないような気がしますが、きちんと分数で表すことができます。

有理数は分数で表せる数。特に循環小数を分数で表す問題は頻出なので、演習をこなしておこう。

無理数

無理数は、有理数と同じ実数に分類され、有理数と対になる数です。無理数は有理数と異なり、分数で表すことができない数です。

中学で学習した平方根は無理数です。この平方根は小数点以下が無限に続き、しかも循環しない小数です。無限小数は記述するのが大変です。それを解消するために、平方根であれば根号(ルート)という記号を使って表します。

このような無限小数は、循環小数と異なり、分数で表すことができません。

有理数と無理数の定義をセットで覚えよう。分数で表せるかどうかが分類のポイント。

循環小数の表し方

循環小数は小数点以下が無限に続く数なので、ある規則に従って小数点以下を工夫して表します。毎回、小数点以下を長々と記述するのは面倒だからです。

規則と言うほどのものではありません。循環する数字が分かるように、数字の上に黒丸を付けるという規則です。

循環する数字の桁数によって、黒丸の付け方が少し変わります。

  • 小数点以下で、循環する数字が1桁のとき、その数字の上に黒丸を付ける。
  • 小数点以下で、循環する数字が2桁のとき、2つの数字の上に黒丸を付ける。
  • 小数点以下で、循環する数字が3桁のとき、1桁目と3桁目の数字の上に黒丸を付ける。

循環する数字の桁数が3桁以上になると、黒丸を付けるのは最初と最後の数字の2箇所だけで構いません。おそらく、黒丸を付けすぎると、逆に分かりにくくなるだろうからだと思います。
循環小数の表し方のルール

循環小数を分数で表す

分数を小数で表したり、有限小数を分数で表したりすのは、難しくありません。しかし、循環小数は無限に続く小数なので、有限小数と同じように $10$ や $100$ などを分母にした分数で表せそうにありません。

ですから「循環小数を分数で表せ」という問題を解くためには、分数で表すための方法を知っておくことが絶対です。知らなければまず解けないだろうと思います。

循環小数を分数で表す演習問題

次の循環小数を分数で表してみましょう。
循環小数を分数で表す演習

循環小数の最大の特徴は小数点以下に同じ数字の並びが繰り返し現れることです。この性質を利用します。

例題の循環小数では、小数点以下の $1$ と $5$ の2桁が繰り返し現れます。繰り返される桁数や数字を確認したら、「 $x = 2.\dot{ 1 }\dot{ 5 }$」という等式を作ります。この等式を使って、小数点以下の循環する部分がなくなるような処理を行います。

この等式1つでは循環する部分をなくせません。ですから、等式の性質を利用して、たとえば両辺を100倍するなどした式を新たに作ります。

\begin{align*}
x &= \quad 2.151515 \cdots \\[ 5pt ]
100x &= 215.151515 \cdots
\end{align*}

両辺を100倍した場合、右辺は小数点が2つ右にずれた小数 $215.\dot{ 1 }\dot{ 5 }$ に変わります。それでも小数点以下の数字の並びは、もとの数 $2.\dot{ 1 }\dot{ 5 }$ と同じになっています。

この2つの等式を減算すると、循環部分が消えて無くなります。この後、文字 $x$ について解くと、文字 $x$ はもとの循環小数のことなので、右辺の分数が循環小数を分数で表したときの数になります。

\begin{align*}
99x &= 213 \\[ 5pt ]
x &= \frac{71}{33}
\end{align*}
循環部分を消去することで、無限小数から有限小数にするのがポイント。そのために等式を作ってスタートしよう。
10倍か100倍かは循環部分の桁数で決める

作った等式を何倍するかは、循環する数字の桁数で決まります。循環部分がきれいに消えるように、10倍(100倍、1000倍・・・)しましょう。

循環する数字の桁数に応じて、両辺に $10$ や $100$ を掛けよう。

解答例とポイントをまとめると以下のようになります。
循環小数を分数で表す演習問題

有限小数や循環小数の性質を利用した上手い方法です。ちなみに最後に約分をすることが多いので、分数を作って終わりにならないように気をつけましょう。

さいごに、もう一度まとめ

  • 実数は、今まで扱ってきた数の総称。
  • 有理数と無理数は実数に属し、分数で表せるかどうかで決まる数。
  • 整数、有限小数、循環小数は有理数に属し、分数で表せる数。
  • 循環小数は、黒丸を使うと簡略化して表せる。
  • 循環小数を分数で表すとき、循環部分を消去して有限小数にする。
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