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数と式|整式の呼び方や表し方について

整式の呼び名や表し方をはじめから学びなおす数学I

今回も整式についてもう少し掘り下げます。

整式は特定の情報に着目すると、その呼び方や表し方が変わってしまいます。ですから、着目の仕方によって他人よりも多くの情報を得ることができます。

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整式の呼び名は着目するもので異なる

整式は何に着目するかで、その呼び名が異なります。たとえば積や和に着目した場合、整式は単項式や多項式などと呼ばれます。また、整式の次数に着目した場合、単項式や多項式の区別なく「~次式」と呼びます。

このように同じ整式であっても、着目するものが変われば呼び名も変わります

整式の次数や文字に着目

以下の2つの単項式を考えます。

\begin{equation*}
\frac { 1 }{ 5 } a \ , \ 5x{ y }^{ 2 }
\end{equation*}

単項式は、数や文字の積だけで表され、1つのかたまりとして扱う式です。

掛け合わされた文字の個数である次数を数えると、次数は左の式から順に1,3です。

次数に着目した場合、左式を1次式と呼び、右式を3次式と呼びます。

注目する文字で、整式の呼び名が変わる

次数に着目するとき、注意したいのは複数の文字を含む項があるときです。

\begin{align*}
&5x{ y }^{ 2 } \\[ 5pt ]
= \ &5 \times x \times y \times y
\end{align*}

3次式である上式には $x$ が1個、$y$ が2個の計3個の文字が掛け合わされた式です。

ただ単に次数だけを知りたいのであれば、3次式と呼ぶだけで足ります。しかし、3個の文字が同じ種類なのか異なる種類なのかは分かりません。

つまり「~次式」という呼び名だけでは、文字の種類までは判別できないということです。

そこで、特定の文字に着目して呼ぶ場合があります。この呼び名であればより詳しい情報を知ることができます。

特定の文字に着目した場合の呼び方
\begin{equation*}
5x{ y }^{ 2 }
\end{equation*}

上式について、文字 $x$ に着目した場合、文字 $x$ は1個なので「$x$ についての1次式」と呼びます。それに対して、文字 $y$ に着目した場合、文字 $y$ は2個なので「$y$ についての2次式」と呼びます。

「文字~についての」という文言に注意しましょう。
着目しない文字の扱い

特定の文字に着目する場合、着目しない文字の扱いに注意する必要があります。

この場合、着目した文字以外は、文字であっても数と同じ扱いをします。そうなると、係数に違いが出てきます。

\begin{equation*}
5x \underline{{ y }^{ 2 }} = 5{ y }^{ 2 } \underline{x}
\end{equation*}

文字 $x$ に着目した場合、文字 $y$ を数と同じように扱うので、$5{ y }^{ 2 }$ を係数として扱います。それに対して、文字 $y$ に着目した場合、$5x$ を係数として扱います。

このように特定の文字に着目すると、同じ整式でも呼び名が変わります。しかし、着目した文字の個数を詳しく知ることができます。

また整式をより後から学習する展開や因数分解などで、式を扱いやすくします。

なお、特定の文字に着目すると、注目しない文字が係数の一部になるので、最初のうちはよく間違えてしまいます。注目する文字に下線を引くとミスを減らせます。

多項式のときは慎重に

整式が多項式のとき、単項式よりも慎重に扱う必要があります。たとえば以下の整式を考えます。

\begin{equation*}
4{ x }^{ 2 }+2xy-5x+3
\end{equation*}

この多項式には、文字を含む項が3つ、定数項が1つあります。最高次数は1,2番目の項の次数が2なので、この整式は2次式です。

しかし、単に2次式という呼び方では、文字が2個あるというだけで、種類までは分かりません。

多項式で特定の文字に着目する

この多項式でも特定の文字に着目して考えてみます。

\begin{equation*}
4{ x }^{ 2 }+2xy-5x+3
\end{equation*}
文字xに着目した場合

最高次数は、文字 $x$ が2個ある1番目の項の次数になるので、「$x$ についての2次式」と呼びます。

2番目の項には文字 $x$ は1個だけなので、次数は1です。$x$ だけが文字扱いで、$y$ は数扱いです。

このことから、2,3番目の項は $x$ についての1次の項になるので、同類項と見なすことができるようになります。

同類項は分配法則を利用して係数を整理することができるので、整式は文字 $x$ について以下のように変形することができます。

\begin{align*}
&4{ x }^{ 2 }+2xy-5x+3 \\[ 5pt ]
= \ &4{ x }^{ 2 }+\left( 2y-5 \right) x+3
\end{align*}

文字 $x$ に着目して変形することで、項の数を4つから3つに減らすことができました。

また、文字 $x$ について降べきの順に並べることで、すっきりした印象だけでなく、式の扱いやすさも変わってきます。

文字 $x$ に着目することで、以下のような情報を知ることができます。

  • 整式は文字 $x$ を含む項を持つ。
  • 文字 $x$ を含む項のうち、最高次数となる2次(文字 $x$ が2個)の項がある。

整式の表し方

今後、整式を扱うにあたって、複数の種類の文字を扱うことが多くなります。そのとき、特定の文字に着目し、同類項をまとめたり、降べきの順に並べたりして整式を変形します

ちなみに、降べきの順に並べるのは、特定の文字に着目していなくても行うのが一般的。暗黙のルールなので習慣にしておきましょう。

今回の記事の内容は、この後の展開や因数分解の単元でも必修です。ここでマスターしておくと、式の扱いも容易になります。整式、特に多項式を見たら、とにかく特定の文字に着目して式を整理しましょう。

さいごにもう一度まとめ

  • 整式は、着目する事柄で呼び名が変わる。
  • 着目する文字によって、次数や係数が異なる。
  • 着目しない文字は数の扱いになり、係数の一部になる。
  • 特定の文字に着目すると、同類項が存在するときがある。
  • 特定の文字に着目すると、項の数が減って扱いやすくなる。
  • 特定の文字に着目しても、着目した文字について降べきの順に並べる。
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