熱中症に気をつけよう! 数学の公式・定理集あります。物理のヒント集始めました。
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数と式|ただ覚えれば良いというわけではなく、使えてこその公式

文字ばかりで苦労する公式の扱い方数学I

整式について学習した後は「展開」や「因数分解」について学びます。

この展開や因数分解には公式がたくさん出てきます。真面目に公式を覚えたのに、数学が苦手な人がいます。なぜでしょうか。

理系科目全般で共通に言えるのは、「公式を覚えることは大切だが、覚えただけでは解けない」ということです。

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「覚える」よりも「使える」ことを意識する

公式は特定の条件であれば必ず同じ結果を得られる数式なので、非常に重宝します。個人的には暗記が苦手な方で、公式などの覚えるべき事柄を覚えるのに非常に苦労しました。

とにかく覚えなきゃ始まらないので、どんな公式を使うのかが分かる基礎レベルの問題(例題の後にある練習問題)を選び、次の手順で公式を覚えていきました。

  1. 練習問題を解くとき、公式を書く。教科書を見ながらで良い。
  2. 公式と問題の式とを見比べて、対応する数や文字を確認する。
  3. 照らし合わせながら対応する数や文字に置き換える。
  4. 対応関係を見極めることができるまで反復する。
参考 分配法則
$3x \left( x-2 \right)$ を解け。
\begin{align*}a \left( b+c \right) = \ &ab+ac \\[ 10pt ]
3x \left( x-2 \right) = \ &3x \times x + 3x \times \left( -2 \right) \\[ 5pt ]
= \ &3{x}^{2}-6x
\end{align*}
公式を問題の式の真上に書くと、対応関係が分かりやすい。

公式を覚えるときにはひたすらこのステップを繰り返しました。意識していたわけではありませんが、このステップを踏むことで、公式を覚える、かつ公式を使う練習を自然としていたようです。式を見て公式が使えるかどうかの判断もラクになりました。

結局、公式を頑張って覚えても、覚えた公式が設問で使えることに気づかなければ使いようがない。

文系科目だと覚えた事柄がそのまま点数に反映されることが多いのに対して、理系科目では、たとえば公式の形は同じでもそこで使われている数や文字が異なることがあるので、公式をただ暗記しただけでは点数に反映されにくくなります

ですから、もし公式を真面目に覚えたのに点数が取れないことがあれば、公式を数や文字が変わっても使えるかを確認してみてください。おそらく、数や文字が変わると、公式が使えなかったり、そもそも公式が使えることに気づかなかったりするのではないかと思われます。

アウトプットとインプットはセットで

実際の問題では、条件は同じでも公式で使われている数や文字と異なることがよくあります。そのような問題では、出題者が「公式を使いこなせるか」を意図して出題したのだと推測できます。その意図に対応するためにも、「使いながら覚えていく」のが効率の良い学習だと思われます。

学習内容を覚えること(インプット)は大事ですが、最終的には、覚えた事柄を出せること(アウトプット)ができなければなりません。なぜなら試験ではアウトプットできるかどうかを試されているからです。このことはどの科目にも言えることです。

ただ、数学を始めとした理系科目では「公式がどんな条件のときに使えて、どのように公式を使うのか」までをインプットしておかなければ、試験ではアウトプットできません。

ですから、まとめ学習では、文系科目で有効であっても、理系科目ではあまり役に立たないのでしょう。そうすると、理系科目の学習では、まとめ学習中心よりも問題演習中心の方が効率的だと分かります。

公式などの基本事項をただ暗記することを目的とした学習はNG。演習をこなしながら覚えていく感覚で。

教科書や参考書で公式の導出について知ることで、背景や条件を知ることができます。また、例題で公式の使い方を知ることができます。そして、練習問題で実際に使ってみて、公式の当てはめ方を知ることができます。

このようなステップを踏むことで理系科目では公式を使える状態にすることができます。文系科目と理系科目とでは、学習のやり方を少し変えるべきだとが分かると思います。

公式を覚えるときは導出もセットで

公式を覚えていても、公式がどのように導出されたかを知っている人は少ないです。

「公式は暗記するもの」という感覚であれば、それはどちらかと言うと文系科目での学習のやり方です。そのやり方であれば、あらゆる問題の方針や模範解答まで丸暗記しないと理系科目では通用しないと思われます。

すべてを丸暗記することは現実的ではありません。それに、覚えるためには理解が伴います。暗記はやはり短期記憶なので、理解が伴わないと長期記憶になりません。

先ほども言ったように、公式を使えることが大切です。公式を十全に使いこなすためには「どんな条件のとき公式が導出されたのか」という背景を知ることは必ず役に立ちます。

たとえば、三平方の定理が図形以外の問題で使えますか?三平方の定理は直角三角形という図形で成り立つ定理なので、直角三角形が出てこない限り使わない定理です。

このように公式が導出された背景をもう少し意識的に学習できれば、公式の成り立ちを理解でき、公式の使い所も分かってくるでしょう。

公式の使い所が分かってくれば、設問の条件によって「このままでは使えない」とか「これだけ条件が揃えば使える」と言った判断もできるようになります。

たとえば、直角三角形の辺の長さを求める問題で、三辺のうち一辺しか長さが与えられていなければ、三平方の定理だけでは求めることができません。三平方の定理を使うには、三辺のうち二辺の長さが分かっている必要があるからです。

公式がどのようにして導出されたのかを意識的に学習しよう。

公式を自分で導出できるようにしよう

公式を自分で導出できることには利点があります。公式の導出には、今まで学習してきたことを用いています

既習内容を駆使するので、かなりの復習になります。既習内容の復習もしつつ、数式の扱い方を知ったり、新たな学習内容とのつながりを知ったりと恩恵は計り知れません。また、この経験は融合問題を解くときにも役立ちます。

公式の導出は既習内容の復習だけでなく、数式の扱い方や学習内容のつながりを知ることができる。

その点を踏まえて書かれたのが教科書で、いきなり公式だけが出てくるような構成ではないはずです。既習内容を踏まえながら、条件の定義そして公式の導出という流れになっています。

公式の背景や成り立ちを知れば、公式に対する理解が深まります。そして、公式がただの数字や文字の羅列ではなく、きちんと意味を持ったものに見えてくるはずです。

数式が数字と文字の羅列にしか見えない場合、公式の導出に取り組んでみよう。数式が意味をもつものだと分かる。

数式を扱う力を養おう

個人的な感想ですが、高校数学を学習していくのに必要なのは「数式を扱う力」だと思います。数式を扱う力がないと、公式はもちろん、条件式の導出や変形もできないからです。

特に、数学Iの「数と式」では、高校数学で使う数式を扱う基礎を学習します。この単元がどのくらい浸透しているかで数学の得意・不得意が決まるような気がします。そのくらい大事な単元です。

「数と式」の単元では、整式について学習した後、展開や因数分解を学習します。この展開や因数分解はほとんどの問題で利用されます。

展開と因数分解の単元はセットで学習した方が効率的です。この際、比重を置くのは、断然、因数分解です。

展開のやり方は実質的に1つだけなので、公式を覚えていなくても式を展開することができます。それに対して、因数分解は、公式に当てはまるときとそうでないときとで方針が異なるので、その見極めができないと式を因数分解することができません。

ですから、因数分解の方に比重を置きつつ、合わせて学習していきましょう。

参考図書

さいごに、もう一度まとめ

  • 「覚える」ことではなく「使える」ことを目標に公式を覚える。
  • 公式に当てはめる練習をして「公式の使い方」を覚える。
  • 教科書の例題が公式の使い方の一番易しい取り扱い説明書。
  • 公式の導出を意識的に学習して、条件やつながりなどを知る。
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数学I
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ちょっとど忘れしたときの公式・定理集

数学で覚えるべき公式や定理は、一覧で眺めてみるとそれほど多くはありません。大切なことは覚えることではなく、「公式や定理をどのように使うか」です。

公式・定理集で確認しつつ、演習で積極的に使っていきましょう。

日々是鍛錬 ひびこれたんれん
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