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頑張れ!受験生! 数学の公式・定理集あります。物理のヒント集始めました。
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数と式|整式をたすき掛けで因数分解してみよう

1つの式の中で、たすき掛けを2回行う因数分解 数学I

整式を因数分解の基本的な方針や流れが分かったので、今回はよく使われる「たすき掛け」による因数分解に関する問題を解いてみましょう。

「たすき掛け」による因数分解は、単なる計算問題だけでなく、色々な問題の中で利用されます。たとえば、「数と式」の後の「2次関数」では、点の座標を求めるときに「たすき掛け」による因数分解を利用します。

「数と式」は数や式についての基本的な扱い方を学習する単元です。徹底的に演習しておき、安心して数式を扱えるようにしておきましょう。そして今後の数学ライフをより良く送りましょう。

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たすき掛けによる因数分解のおさらい

「たすき掛け」はどんな形の式で利用できたか覚えているでしょうか。以下のような条件を満たす整式に対して利用できます。

たすき掛けを利用できる整式の条件

  • 特定の文字(たとえば $x$ )についての2次式であること。
  • 2次の項、1次の項、定数項の3つの項があること。

数式を扱うときには、式を見て方針が立つようになるのを目標にしましょう。

典型的で頻出の問題を解いて、たすき掛けをマスターしよう

今回の演習問題は、たすき掛けを利用する問題の中でも典型的で頻出の問題です。たすき掛けの使い所を押さえて、因数分解の流れを把握しましょう。

また、展開と因数分解の関係だけでなく、特定の文字に着目するなど整式についての知識も問われています。これまで学習した内容を凝縮したような問題なので良問です。

扱う文字の種類や項数が多くなっても慌てずに。入試レベルならもっと複雑な整式を扱う。演習をこなして慣れていこう。

例題を解いてみよう

次の式を因数分解してみましょう。

たすき掛けによる因数分解の例題

与式を観察すると、以下のようなことが分かります。

  • 文字が $x \ , \ y$ の2種類ある。
  • 文字 $x \ , \ y$ について、ともに2次の項、1次の項、定数項の3項がある。

文字 $x \ , \ y$ を含む整式で、ともに2次の項があれば、ほぼたすき掛けで因数分解できます。

第1問の解答・解説

\begin{equation*}
1. \quad {x}^{2} +3xy +2{y}^{2} -2x -3y +1
\end{equation*}

整式を特定の文字に着目して整理する

第1問の式について考えていきます。2種類の文字 $x \ , \ y$ があるので、与式を扱いやすくするために文字 $x$ に着目して降べきの順に整理します。

同類項に注意して整理すると以下のようになります。

\begin{align*}
1. \quad &{x}^{2} +3xy +2{y}^{2} -2x -3y +1 \\[ 5pt ]
= \ &{x}^{2} +\left( 3y-2 \right)x +\left( 2{y}^{2} – 3y +1 \right)
\end{align*}

文字 $x$ に着目したので、文字 $y$ は数と同じ扱いをします。このとき、1次の項や定数項を整理するときに注意が必要です。

1次の項の係数は多項式 $\left( 3y-2 \right)$ で、文字 $x$ に着目していることが分かるように、文字 $x$ はカッコの後ろに書きます。

また、定数項は多項式 $\left( 2{y}^{2} – 3y +1 \right)$ で、これもカッコでくくっておきます。定数項の範囲が分かるようにするためです。定数項は文字 $y$ についての2次式になっています。

特定の文字に着目して整式を整理すると、整式の見え方が変わる。扱い方の方針が立たないときは、次数の高い、または次数の低い文字に着目して整式を整理してみよう。

定数項が和の形だと因数分解できない

文字 $x$ に着目して与式を整理したので、因数分解に入りたいところですが、もう少し与式を変形する必要があります。

ここで、文字 $x$ についての1次式どうしの展開(乗法公式4番目)を思い出してみましょう。

\begin{align*}
&\left( ax +b \right) \left( cx +d \right) \\[ 5pt ]
= \ &ac{x}^{2} + \left( ad +bc \right)x +bd
\end{align*}

定数項は因数 $b \ , \ d$ の積です。それに対して、定数項は $\left( 2{y}^{2} – 3y +1 \right)$ という多項式であり、和の形で表されています。つまりこのままでは因数が分からず、因数分解できないということです。

定数項の因数を知るために、文字 $y$ についての2次式を因数分解して積の形にします。ここで利用するのがたすき掛けです。

定数項だけで見れば、文字 $y$ について、2次の項、1次の項、定数項を持つ多項式です。2次の項の係数が $1$ ではないので、たすき掛けで因数分解します。

定数項を因数分解すると以下のようになります。

\begin{align*}
1. \quad &{x}^{2} +3xy +2{y}^{2} -2x -3y +1 \\[ 5pt ]
= \ &{x}^{2} +\left( 3y-2 \right)x +\left( 2{y}^{2} – 3y +1 \right) \\[ 5pt ]
= \ &{x}^{2} +\left( 3y-2 \right)x +\left( y -1 \right) \left( 2y -1 \right)
\end{align*}

これで定数項を積の形で表せました。

定数項だけで因数分解する方法は、たすき掛けを利用する場合が多いだけで、共通因数でくくったり、他の乗法公式を利用したりする場合もある。
定数項の因数の組み合わせは符号に気を付けよう

定数項を因数分解すると、$y$ の1次式どうしの積の形になるので、この1次式が因数になるだろうと予想がつきます。

ここで注意したいのは符号です。定数項の因数分解の方に注意が向きすぎて、符号のことを忘れがちになります。

因数分解後の定数項は $+\left( y -1 \right) \left( 2y -1 \right)$ でした。これから分かる因数の組み合わせは次の2通り考えられます。

  • $+ \left( y -1 \right) \ , \ + \left( 2y -1 \right)$
  • $- \left( y -1 \right) \ , \ – \left( 2y -1 \right)$
正負の数の乗除算での符号の規則性を思い出そう。文字 $y$ についての1次式を1つの文字に見立てると、符号の組み合わせを考えやすい。

式全体のたすき掛けでは、文字 $y$ の係数に注目

定数項の因数が分かったら、次は式全体をたすき掛けで因数分解します。

文字 $x$ の2次の項の係数を見て、因数の組み合わせを考えます。係数は $1$ なので、因数は $1 \ , \ 1$ の組み合わせです。

\begin{array}{ccc}
1 & & \\
1 & & \\
\hline
\end{array}

次に、定数項の因数に候補がいくつかあると迷いますが、文字 $y$ の係数に注目すると候補を絞れます。

\begin{align*}
1. \quad &{x}^{2} +3xy +2{y}^{2} -2x -3y +1 \\[ 5pt ]
= \ &{x}^{2} +\left( \underline{3y}-2 \right)x +\left( \underline{y} -1 \right) \left( \underline{2y} -1 \right)
\end{align*}

文字 $x$ の1次の項では $+3y$となっているので、$+3$ に注意すると定数項の因数 $+ \left( y -1 \right)$ と $+ \left( 2y -1 \right)$ だろうと予想できます。負の数の組み合わせだと、$+3y$ は出てきません。

\begin{array}{ccccc}
1 & \searrow & \left( y -1 \right) & \longrightarrow & y-1 \\
1 & \nearrow & \left( 2y -1 \right) & \longrightarrow & 2y-1 \\
\hline
1 & & \left( y -1 \right) \left( 2y -1 \right) & & \underline{\underline{3y-2}}
\end{array}

実際にたすき掛けして、文字 $x$ の1次の項の係数 $+ \left( 3y-2 \right)$ と等しいことを確かめます。たすき掛けが上手くいけば続きを書いて終了です。

\begin{align*}
1. \quad &{x}^{2} +3xy +2{y}^{2} -2x -3y +1 \\[ 5pt ]
= \ &{x}^{2} +\left( 3y-2 \right)x +\left( 2{y}^{2} – 3y +1 \right) \\[ 5pt ]
= \ &{x}^{2} +\left( 3y-2 \right)x +\left( y -1 \right) \left( 2y -1 \right) \\[ 5pt ]
= \ &\{ x + \left( y -1 \right) \} \{ x + \left( 2y -1 \right) \} \\[ 5pt ]
= \ &\left( x +y -1 \right) \left( x +2y -1 \right)
\end{align*}

このように定数項の因数は文字 $y$ の1次式ですが、文字 $y$ の項だけに注目すると、符号や数字の組み合わせを考えやすくなります。

第1問の解答例やポイントをまとめると以下のようになります。
たすき掛けによる因数分解を2セット行う問題

第2問の解答・解説

\begin{equation*}
2. \quad {x}^{2} +xy -2{y}^{2} +x +5y -2
\end{equation*}

2次の項の係数は正の数にしておこう

文字 $x$ について降べきの順に整理しますが、ここで注意したいのは定数項をカッコでくくるときです。2次式を因数分解をするとき、2次の項の係数が正の数である方が、符号の組み合わせや乗法公式の利用などを考えると扱いやすいです。

本問でも第1問と同じように、定数項を因数分解するので、2次の項の係数が正の数になるように、$+ \left( -2{y}^{2} + 5y -2 \right)$ ではなく、$ – \left( 2{y}^{2} – 5y +2 \right)$という形にしておきます。

\begin{align*}
2. \quad &{x}^{2} +xy -2{y}^{2} +x +5y -2 \\[ 5pt ]
= \ &{x}^{2} + \left( y+1 \right)x \underline{\underline{- \left( 2{y}^{2} – 5y +2 \right) }}
\end{align*}
2次の項の係数を正の数にするのは基本作業と思っておこう。2次関数の平方完成でも似たようなことをするので覚えておこう。

定数項を因数分解して、因数の組み合わせを考える

次に定数項をたすき掛けで因数分解します。

\begin{align*}
2. \quad &{x}^{2} +xy -2{y}^{2} +x +5y -2 \\[ 5pt ]
= \ &{x}^{2} + \left( y+1 \right)x – \left( 2{y}^{2} – 5y +2 \right) \\[ 5pt ]
= \ &{x}^{2} + \left( y+1 \right)x – \left( y -2 \right) \left( 2y -1 \right)
\end{align*}

因数分解後の定数項は $- \left( y -2 \right) \left( 2y -1 \right)$ です。符号に注意して因数の組み合わせを考えると、次の2通り考えられます。

  • $- \left( y -2 \right) \ , \ + \left( 2y -1 \right)$
  • $+ \left( y -2 \right) \ , \ – \left( 2y -1 \right)$

次に、たすき掛けを利用します。文字 $x$ の2次の項の係数は $1$ なので、因数は $1 \ , \ 1$ の組み合わせです。

\begin{array}{ccc}
1 & & \\
1 & & \\
\hline
\end{array}

文字 $y$ の係数に注目して、定数項の因数の組み合わせをだいたい予想しておきます。

\begin{align*}
2. \quad &{x}^{2} +xy -2{y}^{2} +x +5y -2 \\[ 5pt ]
= \ &{x}^{2} + \left( \underline{y}+1 \right)x – \left( \underline{y} -2 \right) \left( \underline{2y} -1 \right)
\end{align*}

文字 $x$ の1次の項では $+y$となっているので、$+1$ に注意すると定数項の因数 $- \left( y -1 \right)$ と $+ \left( 2y -1 \right)$ だろうと予想できます。異符号の組み合わせなので注意が必要です。

\begin{array}{ccccc}
1 & \searrow & -\left( y -2 \right) & \longrightarrow & -y+2 \\
1 & \nearrow & \left( 2y -1 \right) & \longrightarrow & 2y-1 \\
\hline
1 & & -\left( y -2 \right) \left( 2y -1 \right) & & \underline{\underline{y+1}}
\end{array}

実際にたすき掛けして、文字 $x$ の1次の項の係数 $+ \left( y+1 \right)$ と等しいことを確かめます。

たすき掛けが上手くいけば続きを書いて終了です。

\begin{align*}
2. \quad &{x}^{2} +xy -2{y}^{2} +x +5y -2 \\[ 5pt ]
= \ &{x}^{2} + \left( y+1 \right)x – \left( 2{y}^{2} – 5y +2 \right) \\[ 5pt ]
= \ &{x}^{2} + \left( y+1 \right)x – \left( y -2 \right) \left( 2y -1 \right) \\[ 5pt ]
= \ &\{ x – \left( y -2 \right) \} \{ x + \left( 2y -1 \right) \} \\[ 5pt ]
= \ &\left( x -y +2 \right) \left( x +2y -1 \right)
\end{align*}

第2問の解答例やポイントをまとめると以下のようになります。
たすき掛けによる因数分解を2セット行う問題

たすき掛けによる因数分解を2セット行う

今回のような因数分解の問題では、定数項の因数を考えるために定数項だけで因数分解する必要があります。結局のところ、定数項と式全体とでたすき掛けを2セット行っていることになります。

たすき掛けを2セット行う計算の流れをまとめると以下のようになります。

  1. 文字 $x$ について、整式を降べきの順に整理する。
  2. 定数項だけをたすき掛けで因数分解して、因数を求める。
  3. 定数項の因数が分かったら、式全体をたすき掛けで因数分解する。

たすき掛けで因数分解するときによく出題される問題です。文字 $x \ , \ y$ を使った2次式の因数分解であれば、まずこの解き方を検討してみましょう。

さいごに、もう一度まとめ

  • 2種類の文字 $x \ , \ y$ があり、それらの2次の項があったら、たすき掛けによる因数分解2セットを候補に。
  • 文字 $x$ に注目して、整式を降べきの順に整理する。
  • 注目しない文字 $y$ は数と同じ扱いをする。
  • 定数項をカッコでくくるとき、2次の項の係数は正の数になるようにする。
  • 定数項では、文字 $y$ に着目して2次式を因数分解して積の形にする。
  • たすき掛けによる因数分解では、符号と数字の正しい組み合わせを探せばよい。
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