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数と式|整式の展開に関する問題を解いてみよう

乗法公式の使い方を理解する数学I

乗法公式は、式の形や符号などの共通点や相違点に注目すれば、効率良く覚えることができます。しかし覚えただけで満足してはいけません。

実際の問題に当てはめて使えるかを確認しましょう。演習することで、どのような問題に、どの乗法公式を使うのかが分かってきます。

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公式は使えてこそ

公式は使えてこそ価値があります乗法公式は計算の負担を減らすためにあるので、どんどん使っていきましょう。

展開することだけを目的にすれば、使い慣れた分配法則で展開しても良いのですが、それでは乗法公式を使いこなせるようになりません。今までのやり方に頼るだけでなく、新しいやり方で解決できるようにしておくことも大切ではないかと思います。

初めのうちは失敗することもあるでしょうが、大事なことは「とにかく使ってみる」ということです。

見ながらでも構わないので、使いこなせるまで演習をこなしましょう。

整式の展開に関する基本例題

次の式を展開してみましょう。
乗法公式を利用して展開する演習問題

式の形をよく見て、どの乗法公式で展開できそうかを考えます。

問題を解くとき、よく観察することが大切。式を見て扱い方が決まることが多いので、式の形にはいつも注目しておこう。

第1~3問は中学レベルの問題なので今さらですが、このような易しいレベルから公式に当てはめる練習をすることで、公式の使い方が分かってきます。レベルが上がるにつれて、下準備や処理することが多くなり、余裕がなくなります。

易しくて負担が少ない問題で公式の正しい使い方をマスターしよう。

乗法公式は以下の10個の式でした。

乗法公式の見取り図

第1問の解答・解説

\begin{equation*}
1.\quad { \left( 3x+2 \right) }^{ 2 }
\end{equation*}

与式を見ると非常に分かりやすい形です。2項からなる多項式を2乗した形なので、1番目の乗法公式に当てはまります。

与式と乗法公式を上下に並べて書き、各項の対応関係を確認します。$a=3x \ , \ b=2$ に対応しています。

与式に続く形で展開後の式を書きますが、計算せずに対応する箇所を置き換えた式を書きましょう。公式に当てはめる練習をするためです。

\begin{align*}
{ \left( a+b \right) }^{ 2 } = \ &{a}^{2} +2ab +{b}^{2} \\[ 10pt ]
1.\quad { \left( 3x+2 \right) }^{ 2 } = \ &{\left( 3x \right)}^{2} + 2 \times 3x \times 2 + {2}^{2}
\end{align*}

式を展開した後は和の形(式全体で1つの多項式)になっているので、各項ごとに乗算して整理していくと終了です。解答例は以下のようになります。
2項からなる多項式の2乗の展開

公式の使い方に慣れてくると、数や文字が変わっても対応関係を簡単に見抜けるようになります。そのためにも演習して習熟度を上げましょう。

第2問の解答・解説

\begin{equation*}
2.\quad \left( x+4 \right) \left( x-4 \right)
\end{equation*}

与式を見ると、これも非常に分かりやすいです。2項目の符号だけが異なる形なので、3番目の乗法公式に当てはまります。

与式と乗法公式を上下に並べて書き、各項の対応関係を確認します。$a=x \ , \ b=4$ に対応しています。

\begin{align*}
\left( a+b \right) \left( a+b \right) = \ &{a}^{2} -{b}^{2} \\[ 10pt ]
2.\quad \left( x+4 \right) \left( x-4 \right) = \ &{x}^{2} – {4}^{2}
\end{align*}

展開後は和の形になっているので、各項ごとの処理を優先すると終了です。解答例は以下のようになります。
中学で履修済みの乗法公式で、後ろの項の符号が異符号のときの展開

第3問の解答・解説

\begin{equation*}
3.\quad \left( x-3 \right) \left( x+5 \right)
\end{equation*}

与式を見ると、文字 $x$ についての1次式どうしの積になっています。4番目の乗法公式で、$a=c=1$ のときです。

もちろん、中学で履修済みの公式でも展開できますが、文字 $x$ の1次の項の係数が $1$ になるとは限らないので、できるだけ4番目の乗法公式を使って展開しましょう。

与式と乗法公式を上下に並べて書き、各項の対応関係を確認します。$a=1 \ , \ b=-3 \ , \ c=1 \ , \ d=5$ に対応しています。$b$ との対応関係を間違えやすいので注意しましょう。

\begin{align*}
\left( ax+b \right) \left( cx+d \right) = \ &ac{x}^{2} +\left( ad+bc \right)x +bd \\[ 10pt ]
3.\quad \left( x-3 \right) \left( x+5 \right) = \ &1 \times 1\times{x}^{2} +\{ 1 \times 5 + \left( -3 \right) \times 1 \}x + \left( -3 \right) \times 5
\end{align*}

展開後は各項ごとに処理すると終了です。符号ミスに気を付けましょう。解答例は以下のようになります。

中学で履修済みの乗法公式だが、文字xの1次式どうしの展開として解く。

第4問の解答・解説

\begin{equation*}
4.\quad \left( 2x+3 \right) \left( x-4 \right)
\end{equation*}

与式を見ると、第3問と同様に文字 $x$ についての1次式どうしの積になっているので、4番目の乗法公式で展開できます。

与式と乗法公式を上下に並べて書き、各項の対応関係を確認します。$a=2 \ , \ b=3 \ , \ c=1 \ , \ d=-4$ のときです。$d$ との対応関係を間違えやすいので注意しましょう。

\begin{align*}
\left( ax+b \right) \left( cx+d \right) = \ &ac{x}^{2} +\left( ad+bc \right)x +bd \\[ 10pt ]
4.\quad \left( 2x+3 \right) \left( x-4 \right) = \ &2 \times 1\times{x}^{2} +\{ 2 \times \left( -4 \right) + 3 \times 1 \}x + 3 \times \left( -4 \right)
\end{align*}

展開後は各項ごとに処理すると終了です。符号ミスに気を付けましょう。解答例は以下のようになります。
文字xの1次式どうしの展開

要領を掴めたら、各項の係数や定数項を暗算して、一気に展開できるようにしよう。

次は応用問題に挑戦します。

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ちょっとど忘れしたときの公式・定理集

数学で覚えるべき公式や定理は、一覧で眺めてみるとそれほど多くはありません。大切なことは覚えることではなく、「公式や定理をどのように使うか」です。

公式・定理集で確認しつつ、演習で積極的に使っていきましょう。

日々是鍛錬 ひびこれたんれん
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