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頑張れ!受験生! 数学の公式・定理集あります。物理のヒント集始めました。
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図形と計量|三角比の方程式について

三角比の方程式について 数学I

今回は、三角比の方程式について学習しましょう。これまでの履修内容で角と三角比とを対応付けることができていれば、スムーズに行きます。もし、角に対する三角比がすぐに出てこない人は、もう一度演習してからの方が良いかもしれません。

なお、記事の画像が見辛いときはクリックすると拡大できます。

参考 図形と計量|三角比の定義について
参考 図形と計量|三角比の拡張について
参考 図形と計量|三角比の相互関係について その1
参考 図形と計量|三角比の相互関係について その2

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三角比の方程式の解法

「三角比の方程式」と言うくらいですから、三角比が使われた方程式になります。方程式の中に三角比が使われると、これまでの方程式とどこが違うのか、そういったところに注目して学習しましょう。

三角比の方程式では、未知の変数は角θ

これまでの単元では、角に対する三角比を考えてきました。角の情報が決まれば、直角三角形が決まり、辺の関係もおのずと決まります。そうやって角の情報をもとに三角比を求めました。

三角比の方程式では、未知の変数は角θです。ですから三角比に対する角θを考えるのが、三角比の方程式でのポイントになります。

これまでの逆となるので、角と三角比との対応がまだ付いていない人にはまだ難しく感じるかもしれません。しかし作図することによってカバーできるので、諦めずに取り組みましょう。

三角比の方程式を解くことは角θを求めること

三角比に対する角を考えるので、三角比の方程式の解は角θです。ですから、「三角比の方程式を解く」とは、正弦・余弦・正接などの三角比から角θを求めることです。

(三角比の方程式を解く) = (三角比から角θを求める)
(三角比の方程式の解) = (角θ)

三角比の方程式について

三角比の使い方が大切

三角比の情報から角θを求めますが、情報を上手に使って三角比の方程式を解いていきます。

求めなければならない角θは、ここでは $0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}$ の角なので直角三角形だけで考えません。そのために三角比の拡張を利用します。

座標平面に円と点を作図して方程式を解きます。方程式で与えられた三角比から、円の半径や点の座標を得ることができます。それらをもとに作図すれば、角θを可視化することができます。

三角比の方程式を解く流れ

  1. 方程式から円の半径や点の座標を得る
  2. 得た情報をもとに作図する
  3. 作図から角θを求める

三角比の方程式では作図する

三角比の方程式は計算によって解くと言うよりも、むしろ作図によって図解すると言った方が適切。一応、平面図形の単元なので、当然と言えば当然なのかもしれない。

三角比の方程式を解いてみよう

次の問題を解いてみましょう。ただし、$0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}$ です。正弦・余弦・正接の方程式を一通り用意したので、これで共通点や相違点を確認しながらマスターしましょう。

三角比の方程式を解いてみよう

第1問の解答・解説

第1問
\begin{equation*}
\sin \theta = \frac{1}{2}
\end{equation*}

第1問は正弦を使った方程式です。式を見て分かるように「正弦が $1/2$ になる角θは?」と質問されています。これまでは角に対する三角比を求めていたので逆になっています。

三角比の方程式を解くときは、答案自体はほとんど記述しません。むしろその前の準備や作図(下図の右側参照)に時間を掛けます。ここがしっかりできれば、三角比の方程式を解くことはそれほど難しくありません。

三角比の値 $1/2$ から円の半径や点の座標に関する情報を取り出します。三角比の拡張で学習した式を利用します。

円の半径を $r$、円周上の点Pの座標を $(x \ , \ y)$ とすると、
\begin{align*}
&\sin \theta = \frac{y}{r} \\[ 10pt ]
&\cos \theta = \frac{x}{r} \\[ 10pt ]
&\tan \theta = \frac{y}{x}
\end{align*}

参考 図形と計量|三角比の定義について
参考 図形と計量|三角比の拡張について

右辺の分母から円の半径は $2$、分子から点Pの $y$ 座標は $1$だと分かります。

座標平面に半径 $2$ の円を描きます。そして円周上の点で、$y$ 座標が $1$ である点を探します。このとき、$y$ 座標が $1$ となる点は直線 $y=1$ 上にあることを利用します。直線 $y=1$ を引いて円との交点を作ります。

第1問の作図

すると交点が円周上に2つできました。それぞれの交点と原点とを結ぶと動径ができます。この動径と $x$ 軸の正の部分とのなす角が、方程式の解である角θとなります。

図から角θの値を求めます。できるだけ正確に作図すると、角θの大きさが一目で分かります。

解答例は以下のようになります。

第1問の解答例

$0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}$ の範囲では、正弦の値が正の数になる角は2つある。三角比の方程式の解は基本的には2つあると考えておこう。しっかり作図をして視覚化しよう。

第2問の解答・解説

第2問
\begin{equation*}
\cos \theta = -\frac{1}{2}
\end{equation*}

第2問は余弦を使った方程式です。式を見て分かるように「余弦が $-1/2$ になる角θは?」と質問されています。余弦が負の数なので、少し変形しておきます。

\begin{align*}
&\cos \theta = \frac{x}{r} \ \text{に合わせて変形すると} \\[ 5pt ]
&\cos \theta = \frac{-1}{2}
\end{align*}

右辺の分子を $1$ から $-1$ に変形しました。右辺の分母から円の半径は $2$、分子から点Pの $x$ 座標は $-1$だと分かります。

座標平面に半径 $2$ の円を描きます。そして円周上の点で、$x$ 座標が $-1$ である点を探します。このとき、$x$ 座標が $-1$ となる点は直線 $x=-1$ 上にあることを利用します。直線 $x=-1$ を引いて円との交点を作ります。

第2問の作図

すると交点が円周上に1つできました。交点と原点とを結ぶと動径ができます。この動径と $x$ 軸の正の部分とのなす角が、方程式の解である角θとなります。図から角θの値を求めます。

解答例は以下のようになります。

第2問の解答例です。

$0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}$ の範囲では、余弦の値が負の数になる角は1つだけ。しっかり作図をして視覚化しよう。

第3問の解答・解説

第3問
\begin{equation*}
\tan \theta = -1
\end{equation*}

第3問は正接を使った方程式です。式を見て分かるように「正接が $-1$ になる角θは?」と質問されています。正接が整数で与えられているので、少し変形しておきます。

\begin{align*}
&\tan \theta = \frac{y}{x} \ \text{に合わせて変形すると} \\[ 5pt ]
&\tan \theta = \frac{1}{-1}
\end{align*}

整数のままだと、円の半径や点の座標の情報を得にくいので、右辺を分数に変形します。正接は $x$ 座標と $y$ 座標で求めるので、$x$ 座標が負の数になるように変形します。

$0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}$ の範囲では、$y$ 座標が負の数になる点は存在しないので、$x$ 座標が負の数になるように変形しよう。三角比の拡張を思い出そう。

右辺を分数に変形しましたが、正接の場合、得られる情報は点の座標 $(-1 \ , \ 1)$ で、円の半径を知ることはできません。ですから、正弦や余弦と少し違った作図をします。

円の半径が分からないので、とりあえず円を描きます。そして座標 $(-1 \ , \ 1)$ である点も描きます。このとき、点が円周上になくても構いません

第3問の作図

できた点と原点とを結べば、その線分が動径です。この動径と $x$ 軸の正の部分とのなす角を読み取れば、それが方程式の解です。ちなみに、作図によってできた点が1つなので、方程式の解は1つです。

解答例は以下のようになります。

第3問の解答例です。

なお、解答例では円を描いていますが、正接に関しては描く必要はありません。また、第3問では定義に合わせる形で解きましたが、実際には正接の定義をさらに変形して、単位円(半径1の円)を利用して解きます。

さいごに、もう一度、頭の中を整理しよう

  • 三角比の方程式の解は角θの値。
  • 三角比の情報から得た円の半径や点の座標をもとに作図して、角θを図形的に求める。
  • 作図には、三角比の拡張で学習した三角比の関係式を利用する。
  • 三角比に対する角θは1つとは限らず、複数あるときもある。
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