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頑張れ!受験生! 数学の公式・定理集あります。物理のヒント集始めました。
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図形と計量|三角比の拡張について

三角比の拡張について 数学I

直角三角形の2辺の比の値から得られる三角比というものを学習しました。

ただ、直角三角形以外にも三角形はたくさんあります。他の三角形には三角比を利用できないのでしょうか。

今回は、それを解決する三角比の拡張について学習しましょう。

なお、記事の画像が見辛いときはクリックすると拡大できます。

参考 図形と計量|三角比の定義について

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三角比の拡張とはどういうこと?

「三角比の拡張」という単元ですが、「拡張」とはどういうことでしょうか?

あまり難しく考えることはありません。「拡張」というのは「利用」と置き換えて良いと思います。

直角三角形では、$90^{\circ}$ 以外の内角はすべて $90^{\circ}$ 未満の鋭角で、その1つの鋭角に対する比の値を三角比と定義していました。

三角比の定義から考えると、直角三角形以外の三角形には三角比は使えないようです。このままでは頑張って定義したにも拘らず、三角比は限定的で、利用価値の低いものになってしまいます。

この三角比を「直角三角形ではない鋭角三角形や、$90^{\circ}$ を超える内角をもつ鈍角三角形にも利用できないか?」というのが「三角比の拡張」における出発点になります。

この点をしっかり押さえておけば、どんな三角形を扱っていても直角三角形を意識できると思います。

三角比の定義をおさらい

様々な三角形で三角比を扱うようになると、ついつい三角比の定義を忘れがちになります。三角比の拡張は、あくまでも直角三角形から得られた三角比を他の三角形で利用するお話です。

拡張のための設定を確認しよう

三角比を拡張して利用するために、予め設定された舞台があります。

三角比を利用するための舞台設定

  • $x$ 軸と $y$ 軸をもつ座標平面
  • 原点を中心とする半径 $r$ の円(状況によっては半円)
  • 円周上の点P $(x \ , \ y)$

三角比の拡張のための初期設定

図のような $x$ 軸と $y$ 軸をもつ平面座標に、原点を中心とする半径 $r$ の半円を描きます。この円周上の点P $(x \ , \ y)$ と原点Oとを結んだ線分OP( $OP=r$ )と、$x$ 軸の正の部分とがなす角をθとします。

線分OPは原点を中心として動くことから動径と呼ばれます。ちなみに、この動径OPが原点Oを中心に反時計回りに動く向きが正の向きと定義されています。

このような図形において、点Pを円周上で移動、あるいは動径を動かすと、角θの大きさが変化します。たとえば角θは、動径が $y$ 軸を通り過ぎると $90^{\circ}$ よりも大きな角になります。

角θが $90^{\circ}$ を超えた角のときを考えると、このとき角θは鈍角になるので鈍角三角形を扱っていることになります。鈍角三角形は、絶対に直角三角形になることはありません。

このように様々な角度になる角θについて、直角三角形の三角比を利用します。これが拡張になります。

三角形の外角に注目する

角θが $0 \lt \theta \lt 90^{\circ}$ を満たすとき、直角三角形を作れるので、定義に当てはめて角θに対する三角比を求めることができます。

これが $90 \lt \theta \lt 180^{\circ}$ になると角θは鈍角になるので、三角比の定義に当てはめることができません。

しかし、鈍角の外角に注目すると、外角は $90^{\circ}$ 未満の鋭角になります。この外角をもつ直角三角形に注目することで、三角比を利用することが可能になります。

点Pから $x$ 軸に垂線を下ろすと、外角(180-θ)をもつ直角三角形ができます。この角(180-θ)に対する三角比を、角θに対する三角比とします。

外角に注目

たとえば $120^{ \circ }$ の三角比の場合、外角は $180^{ \circ }-120^{ \circ }=60^{ \circ }$ となるので、$60^{ \circ }$ に対する三角比を利用します。

ただ、このままでは $120^{ \circ }$ と $60^{ \circ }$ の三角比(正弦・余弦・正接)がすべて同じになるので、どちらの角に対する三角比なのか区別がつかなくなります。

この問題を解決するのが座標平面です。三角比を半径 $r$ と点Pの座標 $(x \ , \ y)$を使って表します。

角θと角(180-θ)の三角比を区別するための方法

  • 直角三角形の斜辺 ⇒ 半径 $r$
  • 直角三角形の底辺 ⇒ 点Pの $x$ 座標
  • 直角三角形の高さ ⇒ 点Pの $y$ 座標

このときの三角比の式は図のようになります。

三角比を拡張した式

長さではない座標を使って良いのか不安になりますが問題ありません。

たとえば、$0 \lt \theta \lt 90^{\circ}$ では、点Pの座標は正の数なので、これまで通りの三角比が得られます。

それに対して $90 \lt \theta \lt 180^{\circ}$ では、点Pの $y$ 座標が負の数なので、余弦と正接が負の数になります。

正弦・余弦・正接のどれかだけで見れば区別がつかないかもしれませんが、3つの値を合わせて見れば、$120^{\circ}$ のときの三角比と $60^{ \circ }$ のときの三角比を区別することができます。

鋭角の三角比を借用して、鈍角の三角比を表す。このとき、そのまま借用するのではなく、半径と座標を使うことで区別させる。

このようにして座標平面で三角比を使うことで、鈍角の三角比をこれまでの三角比を利用しつつ、正負の符号で区別して使うことができます。

三角比が異なるということは、角の大きさが異なるということになるので、どの角に対する三角比かを区別することも可能になりました。これまでをまとめると以下のようになります。

三角比を鈍角でも利用できるようにする

今後は$90^{\circ}$ を超える鈍角の三角比を扱うようになるので、座標平面で半径と座標を使って三角比を求めるようにしよう。

次は実際に鈍角の三角比を求めてみましょう。

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