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頑張れ!受験生! 数学の公式・定理集あります。物理のヒント集始めました。
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図形と計量|三角比の相互関係について その1

三角比の相互関係について 数学I

三角比の拡張によって、直角三角形の1つの鋭角について定義された三角比は、鈍角についても利用することができました。

今回は、正弦・余弦・正接の3つの相互関係について学習しましょう。三角比の相互関係が分かれば、三角比を使った式を変形することができるようになります。

なお、記事の画像が見辛いときはクリックすると拡大できます。

参考 図形と計量|三角比の定義について
参考 図形と計量|三角比の拡張について

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三角比の相互関係

たとえば三平方の定理であれば、直角三角形の3辺の相互関係を表す式でした。

三角比には正弦・余弦・正接の3つの表し方があり、こららの関係のことを三角比の相互関係と言います。

正弦・余弦・正接の関係を表す式

三角比の相互関係は、正弦・余弦・正接の関係を表し、一般に三角比の拡張で学習したことを利用して導出されます。もちろん、直角三角形(90度未満の角θ)の三角比で導出することもできます。

三角比の拡張
半径 $r$ の円周上に点P $(x \ , \ y)$ があるとき
\begin{align*}
\sin \theta &= \frac{y}{r} \\[ 10pt ]
\cos \theta &= \frac{x}{r} \\[ 10pt ]
\tan \theta &= \frac{y}{x}
\end{align*}

これら3つの三角比を利用して、三角比の相互関係を導出します。三角比の相互関係を表す式はいくつかありますが、その中でも基本となるものが3つあります。

三角比の相互関係
\begin{align*}
&\sin ^{ 2 }{ \theta } +\cos ^{ 2 }{ \theta } =1 \\[ 10pt ]
&\tan { \theta } =\frac { \sin { \theta } }{ \cos { \theta } } \\[ 10pt ]
&1 + \tan ^{ 2 }{ \theta } =\frac { 1 }{ \cos ^{ 2 }{ \theta }} \\[ 10pt ]
&\text{ただし} \\[ 5pt ]
&\sin ^{ 2 }{ \theta } = { \left( sin \theta \right)}^{2} \\[ 5pt ]
&\cos ^{ 2 }{ \theta } = { \left( cos \theta \right)}^{2} \\[ 5pt ]
&\tan ^{ 2 }{ \theta } = { \left( tan \theta \right)}^{2}
\end{align*}

これらの相互関係は角の大きさに関わらず必ず成り立ちます

三角比の相互関係の基本式

角の大きさに関わらず必ず成り立つので、利用頻度が高い。絶対に覚えよう。

次は三角比の相互関係を表す式を導出してみましょう。

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