数学２
今回は、２つの２次方程式の解の種類の判別について学習しましょう。ここでは、２つの２次方程式がもつ解の種類について判別します。
どちらの２次方程式も特定の解をもつので、それぞれについて解の種類を判別しなければなりません。
２次方程式の解が実数解や虚数解であるための条件
２次方程式が実数解や虚数解など、特定の解をもつときを考えます。２次方程式の解の種類は、判別式の値によって判別できることを利用します。
２次方程式において、解の種類と判別式の値との関係は以下のようにまとめることができます。
解の種類と判別式
\begin{align*}
&\text{$2$ 次方程式} \\[ 5pt ]
&\quad ax^{\scriptsize{2}}+bx+c=0 \\[ 7pt ]
&\text{の判別式を $D$ とすると} \\[ 5pt ]
&(1) \quad \text{異なる $2$ つの実数解をもつ} \ \Leftrightarrow \ D \gt 0 \\[ 7pt ]
&(2) \quad \text{重解をもつ} \ \Leftrightarrow \ D = 0 \\[ 7pt ]
&(3) \quad \text{異なる $2$ つの虚数解をもつ} \ \Leftrightarrow \ D \lt 0 \\[ 10pt ]
&\text{なお、$(1)$ と $(2)$ をまとめて} \\[ 7pt ]
&\quad \text{実数解をもつ} \ \Leftrightarrow \ D \geqq 0
\end{align*}
単に実数解と言う場合、１つ（重解）でも２つでも構いません。実数解をもつときの条件は大切なので、しっかりと覚えておきましょう。
２つの２次方程式がともに実数解をもつとき
２つの２次方程式がともに実数解をもつとき、判別式の値の条件は以下のようになります。
２つの２次方程式がともに実数解をもつときの条件
\begin{align*}
&\text{$2$ つの $2$ 次方程式の判別式を} \\[ 5pt ]
&\text{それぞれ} \\[ 5pt ]
&\quad D_{1} \ , \ D_{2} \\[ 7pt ]
&\text{とする。} \\[ 5pt ]
&\text{$2$ つの $2$ 次方程式がともに} \\[ 5pt ]
&\text{実数解をもつのは} \\[ 5pt ]
&\quad D_{1} \geqq 0 \quad \text{かつ} \quad D_{2} \geqq 0 \\[ 7pt ]
&\text{を満たすときである。}
\end{align*}
２つの２次方程式がともに実数解をもつので、それぞれの判別式Ｄの条件はＤ≧０でなければなりません。
また、判別式の条件から得られる範囲は、「かつ」が用いられているので、共通部分となる範囲です。共通部分となる範囲でなければ、２つの２次方程式はともに実数解をもつことはありません。
少なくとも一方の２次方程式が実数解をもつとき
少なくとも一方の２次方程式が実数解をもつとき、判別式の値の条件は以下のようになります。
少なくとも一方の２次方程式が実数解をもつときの条件
\begin{align*}
&\text{$2$ つの $2$ 次方程式の判別式を} \\[ 5pt ]
&\text{それぞれ} \\[ 5pt ]
&\quad D_{1} \ , \ D_{2} \\[ 7pt ]
&\text{とする。} \\[ 5pt ]
&\text{少なくとも一方の $2$ 次方程式が} \\[ 5pt ]
&\text{実数解をもつのは} \\[ 5pt ]
&\quad D_{1} \geqq 0 \quad \text{または} \quad D_{2} \geqq 0 \\[ 7pt ]
&\text{を満たすときである。}
\end{align*}
２次方程式が実数解をもつので、それぞれの判別式Ｄの条件はＤ≧０でなければなりません。
しかし、先程と異なるのは、一方だけが実数解をもつ場合でも良いということです。もちろん、ともに実数解をもつことがあっても構いません。
ですから、判別式の条件から得られる範囲には、「または」が用いられています。このことから、和集合となる範囲でなければなりません。
２つの２次方程式の解の種類の判別
次の例題を解いてみましょう。
例題
\begin{align*}
&\text{$2$ つの $2$ 次方程式} \\[ 5pt ]
&\quad 9x^{\scriptsize{2}}+6ax+4 = 0 \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ]
&\quad x^{\scriptsize{2}}+2ax+3a = 0 \quad \cdots \text{②} \\[ 7pt ]
&\text{が次の条件を満たすように、} \\[ 5pt ]
&\text{定数 $a$ の値の範囲を定めよ。} \\[ 7pt ]
&(1) \quad \text{ともに虚数解をもつ} \\[ 5pt ]
&(2) \quad \text{少なくとも一方が虚数解をもつ} \\[ 5pt ]
&(3) \quad \text{①のみが虚数解をもつ}
\end{align*}
定数ａの値の範囲を求める問題です。与えられた２次方程式を見ると、係数や定数項に定数ａが含まれることに気付きます。
２次方程式の解についての条件が与えられているので、判別式を利用します。判別式は、係数や定数項を用いて表されます。このことから、判別式の条件から、定数ａの条件に置き換えることができます。
例題(1)の解答・解説
例題(1)
\begin{align*}
&\text{$2$ つの $2$ 次方程式} \\[ 5pt ]
&\quad 9x^{\scriptsize{2}}+6ax+4 = 0 \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ]
&\quad x^{\scriptsize{2}}+2ax+3a = 0 \quad \cdots \text{②} \\[ 7pt ]
&\text{が次の条件を満たすように、} \\[ 5pt ]
&\text{定数 $a$ の値の範囲を定めよ。} \\[ 7pt ]
&\quad \text{ともに虚数解をもつ}
\end{align*}
２次方程式の係数や定数項を用いて、判別式を表します。ただし、どちらの方程式の判別式かを区別できるように区別しておきましょう。
例題(1)の解答例 1⃣
\begin{align*}
&\quad 9x^{\scriptsize{2}}+6ax+4 = 0 \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ]
&\quad x^{\scriptsize{2}}+2ax+3a = 0 \quad \cdots \text{②} \\[ 7pt ]
&\text{①，②の判別式をそれぞれ $D_{1} \ , \ D_{2}$ とすると} \\[ 5pt ]
&\quad \frac{D_{1}}{4} = \left(3a \right)^{\scriptsize{2}}-9 \cdot 4 \\[ 7pt ]
&\qquad \ = 9 \left(a+2 \right) \left(a-2 \right) \\[ 7pt ]
&\quad \frac{D_{2}}{4} = a^{\scriptsize{2}}-1 \cdot 3a \\[ 7pt ]
&\qquad \ = a \left(a-3 \right)
\end{align*}
２つの判別式は、定数ａについての２次式で表されます。定数ａの値の範囲を求めやすいように、２次式をそれぞれ因数分解しておきましょう。
次は、ともに虚数解をもつための条件を考えます。
例題(1)の解答例 2⃣
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\text{ともに虚数解をもつための条件は} \\[ 5pt ]
&\quad D_{1} \lt 0 \quad \text{かつ} \quad D_{2} \lt 0
\end{align*}
虚数解をもつための条件は、判別式Ｄの値が負（Ｄ＜０）であることです。ともに虚数解をもつので、２つの条件は同時に成り立たなければなりません。ですから、「一方の条件、かつ他方の条件」という形になります。
判別式の条件から、定数ａについての２次不等式を２つとも満たす解が求める範囲です。ですから、それぞれの不等式の解の共通部分が「かつ」を満たす範囲となります。
連立不等式の解き方は、それぞれの不等式で解を求め、その後に解の共通部分となる範囲を求める手順で解きます。
例題(1)の解答例 3⃣
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\quad = 9 \left(a+2 \right) \left(a-2 \right) \\[ 7pt ]
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\quad = a \left(a-3 \right)
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\quad D_{1} \lt 0 \quad \text{かつ} \quad D_{2} \lt 0 \\[ 7pt ]
&\text{$D_{1} \lt 0$ から} \\[ 5pt ]
&\quad 9 \left(a+2 \right) \left(a-2 \right) \lt 0 \\[ 7pt ]
&\text{よって} \\[ 5pt ]
&\quad -2 \lt a \lt 2 \quad \cdots \text{③} \\[ 7pt ]
&\text{$D_{2} \lt 0$ から} \\[ 5pt ]
&\quad a \left(a-3 \right) \lt 0 \\[ 7pt ]
&\text{よって} \\[ 5pt ]
&\quad 0 \lt a \lt 3 \quad \cdots \text{④} \\[ 5pt ]
&\text{③と④の共通範囲を求めると} \\[ 5pt ]
&\quad 0 \lt a \lt 2
\end{align*}
判別式の値の条件から、定数ａの値の範囲を得ることができました。定数ａがこの範囲の値であれば、２つの２次方程式がともに虚数解をもちます。
判別式は、２次方程式の係数や定数項によって定まります。２次方程式と判別式は１対１で対応します。つまり、１つの２次方程式につき、判別式は１つです。
方程式が２つあるような場合には、それぞれに対応した判別式があるので注意しましょう。
例題(2)の解答・解説
例題(2)
\begin{align*}
&\text{$2$ つの $2$ 次方程式} \\[ 5pt ]
&\quad 9x^{\scriptsize{2}}+6ax+4 = 0 \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ]
&\quad x^{\scriptsize{2}}+2ax+3a = 0 \quad \cdots \text{②} \\[ 7pt ]
&\text{が次の条件を満たすように、} \\[ 5pt ]
&\text{定数 $a$ の値の範囲を定めよ。} \\[ 7pt ]
&\quad \text{少なくとも一方が虚数解をもつ}
\end{align*}
判別式については、(1)の結果を利用します。
例題(2)の解答例 1⃣
\begin{align*}
&\text{$(1)$ より} \\[ 5pt ]
&\quad -2 \lt a \lt 2 \quad \cdots \text{③} \\[ 7pt ]
&\quad 0 \lt a \lt 3 \quad \cdots \text{④} \\[ 5pt ]
&\text{少なくとも一方が虚数解をもつ} \\[ 5pt ]
&\text{ための条件は} \\[ 5pt ]
&\quad D_{1} \lt 0 \quad \text{または} \quad D_{2} \lt 0
\end{align*}
少なくとも一方が虚数解をもつので、一方だけが虚数解をもち、他方が実数解をもつこともあります。そのような条件を満たすのは、２つの条件を合わせた範囲（和集合）です。
２つの判別式の条件から得られる範囲の和集合を求めます。
例題(2)の解答例 2⃣
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\quad -2 \lt a \lt 2 \quad \cdots \text{③} \\[ 7pt ]
&\quad 0 \lt a \lt 3 \quad \cdots \text{④} \\[ 5pt ]
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\quad D_{1} \lt 0 \quad \text{または} \quad D_{2} \lt 0 \\[ 7pt ]
&\text{③と④を合わせた範囲を求めると} \\[ 5pt ]
&\quad -2 \lt a \lt 3
\end{align*}
例題(3)の解答・解説
例題(3)
\begin{align*}
&\text{$2$ つの $2$ 次方程式} \\[ 5pt ]
&\quad 9x^{\scriptsize{2}}+6ax+4 = 0 \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ]
&\quad x^{\scriptsize{2}}+2ax+3a = 0 \quad \cdots \text{②} \\[ 7pt ]
&\text{が次の条件を満たすように、} \\[ 5pt ]
&\text{定数 $a$ の値の範囲を定めよ。} \\[ 7pt ]
&\quad \text{①のみが虚数解をもつ}
\end{align*}
判別式については、(1)の結果を利用します。(3)では、２次方程式①だけが虚数解をもちます。
２次方程式②についても考えます。②の方は虚数解をもたない、言い換えると実数解をもつということです。
例題(3)の解答例 1⃣
\begin{align*}
&\text{①のみが虚数解をもつための条件は} \\[ 5pt ]
&\quad D_{1} \lt 0 \quad \text{かつ} \quad D_{2} \geqq 0 \\[ 7pt ]
&\text{$D_{2} \geqq 0$ より} \\[ 5pt ]
&\quad a \left(a-3 \right) \geqq 0 \\[ 7pt ]
&\text{よって} \\[ 5pt ]
&\quad a \leqq 0 \ , \ 3 \leqq a \quad \cdots \text{⑤}
\end{align*}
判別式の値の条件は同時に成り立つ必要があります。共通部分となる範囲を求めます。
例題(3)の解答例 2⃣
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\quad D_{1} \lt 0 \quad \text{かつ} \quad D_{2} \geqq 0 \\[ 7pt ]
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\quad a \leqq 0 \ , \ 3 \leqq a \quad \cdots \text{⑤} \\[ 7pt ]
&\text{③と⑤の共通範囲を求めると} \\[ 5pt ]
&\quad -2 \lt a \leqq 0
\end{align*}
次は、２つの２次方程式の解の種類の判別を扱った問題を実際に解いてみましょう。
