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複素数と方程式|2つの2次方程式の解の種類の判別について

数学II

今回は、2つの2次方程式の解の種類の判別について学習しましょう。ここでは、2つの2次方程式がもつ解の種類について判別します。

どちらの2次方程式も特定の解をもつので、それぞれについて解の種類を判別しなければなりません。

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2次方程式の解が実数解や虚数解であるための条件

2次方程式が実数解や虚数解など、特定の解をもつときを考えます。2次方程式の解の種類は、判別式の値によって判別できることを利用します。

2次方程式において、解の種類と判別式の値との関係は以下のようにまとめることができます。

解の種類と判別式
\begin{align*}
&\text{2次方程式 $ax^{\scriptsize{2}}+bx+c=0$ の判別式を $D$ とすると} \\[ 5pt ]
&(1) \quad \text{異なる2つの実数解をもつ} \ \Longleftrightarrow \ D \gt 0 \\[ 7pt ]
&(2) \quad \text{重解をもつ} \ \Longleftrightarrow \ D = 0 \\[ 7pt ]
&(3) \quad \text{異なる2つの虚数解をもつ} \ \Longleftrightarrow \ D \lt 0 \\[ 10pt ]
&\text{なお、(1)と(2)をまとめて} \\[ 7pt ]
&\quad \text{実数解をもつ} \ \Longleftrightarrow \ D \geqq 0
\end{align*}

特に、実数解をもつときの条件は大切なので、しっかりと覚えておきましょう。

2つの2次方程式がともに実数解をもつとき

2つの2次方程式がともに実数解をもつとき、判別式の値の条件は以下のようになります。

2つの2次方程式がともに実数解をもつときの条件
\begin{align*}
&\text{2つの2次方程式の判別式をそれぞれ $D_{1} \ , \ D_{2}$ とする。} \\[ 5pt ]
&\text{2つの2次方程式がともに実数解をもつのは} \\[ 5pt ]
&\quad D_{1} \geqq 0 \quad \text{かつ} \quad D_{2} \geqq 0 \\[ 5pt ]
&\text{を満たすときである。}
\end{align*}

2つの2次方程式がともに実数解をもつので、それぞれの判別式の値は0以上でなければなりません。

また、判別式の条件から得られる範囲については、「かつ」が用いられていることから、共通部分となる範囲でなければなりません。共通部分となる範囲でなければ、2つの2次方程式はともに実数解をもつことはありません。

少なくとも一方の2次方程式が実数解をもつとき

少なくとも一方の2次方程式が実数解をもつとき、判別式の値の条件は以下のようになります。

少なくとも一方の2次方程式が実数解をもつときの条件
\begin{align*}
&\text{2つの2次方程式の判別式をそれぞれ $D_{1} \ , \ D_{2}$ とする。} \\[ 5pt ]
&\text{少なくとも一方の2次方程式が実数解をもつのは} \\[ 5pt ]
&\quad D_{1} \geqq 0 \quad \text{または} \quad D_{2} \geqq 0 \\[ 5pt ]
&\text{を満たすときである。}
\end{align*}

2次方程式が実数解をもつので、それぞれの判別式の値は0以上でなければなりません。

しかし、先程と異なるのは、一方だけが実数解をもつ場合でも良いということです。もちろん、ともに実数解をもつことがあっても構いません。

ですから、判別式の条件から得られる範囲については、「または」が用いられています。このことから、和集合となる範囲でなければなりません。

2つの2次方程式の解の種類の判別

次の例題を解いてみましょう。

例題
\begin{align*}
&\text{2つの2次方程式} \\[ 5pt ]
&\quad 9x^{\scriptsize{2}}+6ax+4 = 0 \quad \text{…①} \\[ 5pt ]
&\quad x^{\scriptsize{2}}+2ax+3a = 0 \quad \text{…②} \\[ 5pt ]
&\text{が次の条件を満たすように、定数 $a$ の値の範囲を定めよ。} \\[ 7pt ]
&(1) \quad \text{ともに虚数解をもつ} \\[ 7pt ]
&(2) \quad \text{少なくとも一方が虚数解をもつ} \\[ 7pt ]
&(3) \quad \text{①のみが虚数解をもつ}
\end{align*}

2次方程式の係数や定数項に文字が含まれることに気付きます。判別式は、係数や定数項を用いて表されるので、判別式の値の条件から、定数 a の条件に置き換えることができます。

例題(1)の解答・解説

例題(1)
\begin{align*}
&\text{2つの2次方程式} \\[ 5pt ]
&\quad 9x^{\scriptsize{2}}+6ax+4 = 0 \quad \text{…①} \\[ 5pt ]
&\quad x^{\scriptsize{2}}+2ax+3a = 0 \quad \text{…②} \\[ 5pt ]
&\text{が次の条件を満たすように、定数 $a$ の値の範囲を定めよ。} \\[ 7pt ]
&(1) \quad \text{ともに虚数解をもつ}
\end{align*}

2次方程式の係数や定数項を用いて、判別式を表します。ただし、どちらの方程式における判別式かが分かるように区別しておきましょう。

例題(1)の解答例①
\begin{align*}
&\text{①,②の判別式をそれぞれ $D_{1} \ , \ D_{2}$ とすると} \\[ 5pt ]
&\quad \frac{D_{1}}{4} = \bigl( 3a \bigr)^{\scriptsize{2}}-9 \cdot 4 \\[ 5pt ]
&\qquad = 9 \bigl( a+2 \bigr) \bigl( a-2 \bigr) \\[ 5pt ]
&\quad \frac{D_{2}}{4} = a^{\scriptsize{2}}-1 \cdot 3a \\[ 5pt ]
&\qquad = a \bigl( a-3 \bigr)
\end{align*}

2つの判別式は、定数 a についての2次式で表されます。定数 a の値の範囲を求めやすいように、2次式をそれぞれ因数分解しておきましょう。

次は、ともに虚数解をもつための条件を考えます。

例題(1)の解答例②
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 5pt ]
&\quad \frac{D_{1}}{4} = 9 \bigl( a+2 \bigr) \bigl( a-2 \bigr) \\[ 7pt ]
&\quad \frac{D_{2}}{4} = a \bigl( a-3 \bigr) \\[ 5pt ]
&\text{ともに虚数解をもつための条件は} \\[ 5pt ]
&\quad D_{1} \lt 0 \quad \text{かつ} \quad D_{2} \lt 0
\end{align*}

虚数解をもつための条件は、判別式の値が負であることです。ともに虚数解をもつので、2つの条件は同時に成り立たなければなりません。ですから、「一方の条件、かつ他方の条件」という形になります。

判別式の条件から、定数 a についての2次不等式を2つとも満たす解が求める範囲です。ですから、それぞれの不等式の解の共通部分が「かつ」を満たす範囲となります。

「かつ」=「共通部分」

連立不等式の解き方は、それぞれの不等式で解を求め、その後に解の共通部分となる範囲を求める手順で解きます。

例題(1)の解答例③
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 5pt ]
&\text{$D_{1} \lt 0$ から} \\[ 5pt ]
&\quad 9 \bigl( a+2 \bigr) \bigl( a-2 \bigr) \lt 0 \quad \text{よって} \quad -2 \lt a \lt 2 \quad \text{…③} \\[ 5pt ]
&\text{$D_{2} \lt 0$ から} \\[ 5pt ]
&\quad a \bigl( a-3 \bigr) \lt 0 \quad \text{よって} \quad 0 \lt a \lt 3 \quad \text{…④} \\[ 5pt ]
&\text{③と④の共通範囲を求めると} \\[ 5pt ]
&\quad 0 \lt a \lt 2
\end{align*}

判別式の値の条件から、定数 a の値の範囲を得ることができました。これがともに虚数解をもつための条件となります。

判別式は、2次方程式の係数や定数項によって定まります。ですから、判別式は、1つの2次方程式につき1つです。方程式が2つあるような場合には、それぞれに対応した判別式があるので注意しましょう。

例題(2)の解答・解説

例題(2)
\begin{align*}
&\text{2つの2次方程式} \\[ 5pt ]
&\quad 9x^{\scriptsize{2}}+6ax+4 = 0 \quad \text{…①} \\[ 5pt ]
&\quad x^{\scriptsize{2}}+2ax+3a = 0 \quad \text{…②} \\[ 5pt ]
&\text{が次の条件を満たすように、定数 $a$ の値の範囲を定めよ。} \\[ 7pt ]
&(2) \quad \text{少なくとも一方が虚数解をもつ}
\end{align*}

判別式については、例題(1)の結果を利用します。

例題(2)の解答例①
\begin{align*}
&\text{(1)より} \\[ 5pt ]
&\quad -2 \lt a \lt 2 \quad \text{…③} \\[ 7pt ]
&\quad 0 \lt a \lt 3 \quad \text{…④} \\[ 5pt ]
&\text{少なくとも一方が虚数解をもつための条件は} \\[ 5pt ]
&\quad D_{1} \lt 0 \quad \text{または} \quad D_{2} \lt 0
\end{align*}

少なくとも一方が虚数解をもつので、一方だけが虚数解をもち、他方が実数解をもつこともあります。そのような条件を満たすのは、2つの条件を合わせた範囲です。

「または」=「和集合」

判別式から得られる定数 a の値の範囲を合わせた範囲を求めます。

例題(2)の解答例②
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 5pt ]
&\text{③と④を合わせた範囲を求めると} \\[ 5pt ]
&\quad -2 \lt a \lt 3
\end{align*}

例題(3)の解答・解説

例題(3)
\begin{align*}
&\text{2つの2次方程式} \\[ 5pt ]
&\quad 9x^{\scriptsize{2}}+6ax+4 = 0 \quad \text{…①} \\[ 5pt ]
&\quad x^{\scriptsize{2}}+2ax+3a = 0 \quad \text{…②} \\[ 5pt ]
&\text{が次の条件を満たすように、定数 $a$ の値の範囲を定めよ。} \\[ 7pt ]
&(3) \quad \text{①のみが虚数解をもつ}
\end{align*}

判別式については、例題(1)の結果を利用します。2次方程式①だけが虚数解をもてば良いことに注目しましょう。2次方程式②についても考えます。②の方は虚数解をもたない、つまり実数解をもつということです。

例題(3)の解答例①
\begin{align*}
&\text{①のみが虚数解をもつための条件は} \\[ 5pt ]
&\quad D_{1} \lt 0 \quad \text{かつ} \quad D_{2} \geqq 0 \\[ 5pt ]
&\text{$D_{2} \geqq 0$ より} \\[ 5pt ]
&\quad a \bigl( a-3 \bigr) \geqq 0 \\[ 5pt ]
&\text{よって} \\[ 5pt ]
&\quad a \leqq 0 \ , \ 3 \leqq a \quad \text{…⑤}
\end{align*}

判別式の値の条件は同時に成り立たなければならないので、共通部分となる範囲を求めます。

例題(3)の解答例②
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 5pt ]
&\text{③と⑤の共通範囲を求めると} \\[ 5pt ]
&\quad -2 \lt a \leqq 0
\end{align*}

次は、2つの2次方程式の解の種類の判別を扱った問題を実際に解いてみましょう。

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