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集合と論理|共通部分・和集合・補集合について

集合と論理数学I

今回は、集合にも色々あることを学習します。複数の集合を扱うので、ベン図を使って視覚的に捉えると理解しやすいでしょう。また、新しい法則も出てくるので、しっかり使えるようにしておきましょう。

なお、記事の画像が見辛いときはクリックすると拡大できます。

参考 集合と論理|集合と要素について

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物事の全体像を把握するにはやはり可視化が有効

物事の全体像を把握するのに役立つのは「可視化」です。数学で言えば、グラフや図形を描くことです。

この単元では集合やそれに属す要素を扱います。今後は先ほども述べたように複数の集合を扱います。集合を扱うにあたって、その表し方には2通りの方法がありました。

集合の表し方
その1:条件を満たす要素を書き並べる方法
その2:要素が満たす条件を述べる方法

参考 集合と論理|集合と要素について

特に要素を書き並べる方法を使えば集合の要素を把握できるので、問題を解くことは可能です。しかし、要素の数が多くなってくると煩雑になり、把握し辛くなってきます。

そのような場合、要素を取りこぼす可能性が高くなります。それを防ぐのがベン図です。ベン図で可視化することによって、「どの集合に属しているか」や「共通の要素はどれか」といったことを視覚的に把握することができます。

ミスの多い人は基本的に手を動かさない。些細なミスを防ぐために、図解して視覚化しよう。

共通部分・和集合・補集合

集合には、全体集合、部分集合、空集合などいくつかの種類がありました。今回は、2つの集合が包含関係のある場合ではなく、たとえば2つの集合が一部だけ重なるような場合を扱います。

そのような関係にある集合では、共通部分・和集合・補集合といった集合を扱います。

共通部分・和集合・補集合

今後は、包含関係にある集合だけでなく、部分的に重なる集合についても扱います。出題頻度が高い単元なので、演習をこなしてしっかりマスターしましょう。

2つの集合の共通部分

全体集合を $U$ とし、またその部分集合を $A \ , \ B$ とします。この部分集合 $A \ , \ B$ に共通な要素があるとき、その集まりを共通部分と言います。

共通部分は集合の1つですが「~集合」と言わないので注意が必要です。部分集合 $A \ , \ B$ の共通部分は、記号 $\cap$ を用いて「 $A \cap B$」と表されます。

部分集合 $A \ , \ B$ の共通部分
\begin{equation*}
A \cap B
\end{equation*}

また、ベン図では、部分集合 $A \ , \ B$ の共通部分 $A \cap B$ は部分集合 $A \ , \ B$ が重なった部分になります。

共通部分

共通部分も集合の1つなので、共通の要素が分かったら集合の表し方に則って表します。

共通部分の表し方の例
たとえば、
$A=\{ 1 \ , \ 2 \ , \ 3 \ , \ 4 \}$
$B=\{2 \ , \ 4 \ , \ 6 \ , \ 8 \}$
であるとき、共通部分 $A \cap B$ は、
$A \cap B =\{ 2 \ , \ 4 \}$

2つの集合の和集合

全体集合を $U$ とし、またその部分集合を $A \ , \ B$ とします。和集合とは、部分集合 $A \ , \ B$ の少なくとも一方に属する要素の集合のことです。

少なくとも一方」とあるので、両方の集合に同時に属する必要はありません。部分集合 $A \ , \ B$ の和集合は、記号 $\cup$ を用いて「 $A \cup B$」と表されます。

部分集合 $A \ , \ B$ の和集合
\begin{equation*}
A \cup B
\end{equation*}

また、ベン図では、部分集合 $A \ , \ B$ の和集合 $A \cup B$ は部分集合 $A \ , \ B$ を合わせた部分になります。

和集合

この和集合 $A \cup B$ の要素は、2つの部分集合 $A \ , \ B$ の要素を集め、そこから共通部分 $A \cap B$ の要素を取り除いたものになります。これはベン図を見ると良く分かります。

部分集合 $A \ , \ B$ の重なる部分が共通部分 $A \cap B$です。部分集合 $A \ , \ B$ の要素を集めたとき、共通部分 $A \cap B$ のぶんだけ二重になるので、この重なりを取り除く必要があります。

共通部分と和集合の関係
\begin{equation*}
A \cup B = A + B – \left( A \cap B \right)
\end{equation*}
この考え方は集合に属している要素の個数を数えるときに有効。

和集合も集合の1つなので、要素が分かったら集合の表し方に則って表します。

和集合の表し方の例
たとえば、
$A=\{ 1 \ , \ 2 \ , \ 3 \ , \ 4 \}$
$B=\{2 \ , \ 4 \ , \ 6 \ , \ 8 \}$
であるとき、和集合 $A \cup B$ は、
$A \cup B =\{ 1 \ , \ 2 \ , \ 3 \ , \ 4 \ , \ 6 \ , \ 8 \}$

部分集合の補集合

部分集合 $A$ の補集合とは、部分集合 $A$ に属さない要素の集合のことです。全体集合 $U$ が定義されていれば、補集合に属す要素の個数は有限個です。

この補集合を上手に利用すると、共通部分や和集合を簡単に求めることもできます。補集合は、もとの集合のアルファベットの上に横線( $\bar{}$ )をのせて表記します。

部分集合 $A$ の補集合
\begin{equation*}
\overline{A}
\end{equation*}

また、ベン図では、部分集合 $A$ の補集合 $\overline{A}$ は部分集合 $A$ の外側の部分になります。

補集合

部分集合 $A$ の補集合 $\overline{A}$ の要素は、全体集合 $U$ の要素から、部分集合 $A$ の要素を取り除いた後の残りになります。この補集合 $\overline{A}$ を利用すれば、全体集合 $U$ の要素から部分集合 $A$ の要素を求めることもできます。

全体集合と補集合の関係
\begin{equation*}
\overline{A} = U – A
\end{equation*}

補集合も集合の1つなので、属す要素が分かったら集合の表し方に則って表します。

補集合の表し方の例
たとえば、
$U=\{ 1 \ , \ 2 \ , \ 3 \ , \ 4 \ , \ 5 \}$
$A=\{2 \ , \ 4 \}$
であるとき、補集合 $\overline{A}$ は、
$\overline{A} =\{ 1 \ , \ 3 \ , \ 5 \}$

補集合を利用する考え方は、逆側からの視点での考え方になります。1つの事柄を複数の視点から捉えようとすることは、問題を解くうえでとても大切です。正攻法だけでは上手くいきそうにないときに、違った視点が持てると、思いのほか簡単に解ける場合もあるので意外と侮れません。

ド・モルガンの法則は補集合の関係を表した式

ド・モルガンの法則

補集合と言っても、色々な集合の補集合があります。たとえば、部分集合 $A \ , \ B$ や共通部分 $A \cap B$ などの補集合です。色々な補集合の関係を式で表したものが「ド・モルガンの法則」です。

ド・モルガンの法則
\begin{align*}
\overline{A \cap B} &= \overline{A} \cup \overline{B} \\[ 5pt ]
\overline{A \cup B} &= \overline{A} \cap \overline{B}
\end{align*}

これらの式が成り立つのはベン図を描いてみると明らかです。

ド・モルガンの法則をベン図で表す。

ド・モルガンの法則を機械的に利用する

補集合は、与えられた部分集合に属さない要素の集まりなので、基本的に自分で求める必要があります。$\overline{A \cap B}$ や $\overline{A} \cup \overline{B}$ などの要素を自力で求めることは可能ですが、扱う要素の個数が多くなると面倒になります。

そのときに有効なのが「ド・モルガンの法則」です。センター試験でも出題されるので使いこなせるようにしておきたいところです。そうなると覚える必要があるわけですが、形が似ているので間違えそうな感じがします。

しかし、いくつかのポイントを押さえると、簡単にそして機械的に扱うことができるようになります。

ド・モルガンの法則
\begin{align*}
\overline{A \cap B} &= \overline{A} \cup \overline{B} \\[ 5pt ]
\overline{A \cup B} &= \overline{A} \cap \overline{B}
\end{align*}

2つの式を観察してみると、以下のようなことが分かります。

  • 左辺と右辺で、共通部分や和集合を表す記号「 $\cap \ , \ \cup$ 」が入れ替わる
  • 左辺と右辺で、補集合の記号「 $\bar{}$ 」が全体と各集合になっている

この2つのことに気づけば、理屈が分からなくても、機械的に扱うことができるようになります。

ド・モルガンの法則を使った式の変形
補集合の記号「 $\bar{}$ 」:(全体なら各集合へ) ⇔ (各集合なら全体へ)
共通部分や和集合の記号「 $\cap \ , \ \cup$ 」:( $\cap$ なら $\cup$ へ) ⇔ ( $\cup$ なら $\cap$ へ)

ド・モルガンの法則の覚え方

補集合を扱った式が出てきたとき、2つのポイントを踏まえて変形してみましょう。変形後の方が簡単に要素を求めることができる場合があります。

次は実際に問題を解いてみましょう。

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ちょっとど忘れしたときの公式・定理集

数学で覚えるべき公式や定理は、一覧で眺めてみるとそれほど多くはありません。大切なことは覚えることではなく、「公式や定理をどのように使うか」です。

公式・定理集で確認しつつ、演習で積極的に使っていきましょう。

日々是鍛錬 ひびこれたんれん
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