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2次関数|2次関数の平方完成について

2次関数の平方完成数学I

2次関数の式は、中学で学習した2乗に比例する関数を平行移動した式だということを前回の記事で学習しました。

また、2次関数の標準形と呼ばれる式であれば、軸・頂点・凸の情報を知ることができます。これらの情報をもとにグラフを簡単に描くことができます。

しかし、いつも与式が標準形であるとは限りません。そのようなとき、自分で式を標準形に変形する必要があります。

今回は、2次関数の式を標準形に変形する「平方完成」という方法を学習します。

参考 2次関数|2次関数のグラフの平行移動について

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2次関数の式を標準形で表す習慣を

2次関数では、式が標準形で表されていれば、そのグラフを描くことができます。軸の方程式・頂点の座標・上または下に凸の3つの情報を得ることができるからです。

ですから、2次関数を扱う場合、特に断りがなくても、つねに式を標準形で表すことが大切です。

実際の問題では、与式が標準形でない場合がほとんど。標準形に変形できるかどうかも出題の意図に含まれているからだろう。

2次関数の基本作業と言っても良い「標準形への変形」で躓かないように、式変形の手順をしっかりとマスターしましょう。

標準形への変形は平方完成がポイント

2次関数の式を思い出してみましょう。2乗に比例する関数を平行移動した後の式が思い出せれば良いでしょう。

ただ、2次関数の式は変数 $x$ の2次式であればよいので、式の表し方には2パターンあります。

2次関数の式は2パターン(ただし $a \neq 0$ )
$y = a{x}^{2} +bx +c \qquad \Longleftarrow$ 一般的な2次式
$y = a{\left( x-p \right)}^{2} +q \qquad \Longleftarrow$ 標準形

一般的な2次式は、標準形の式を展開した後の式です。設問では与式が一般的な2次式で与えられます。

一般的な2次式ではグラフを描くときに苦労する。2次関数では標準形を使うことが多い。

一般的な2次式では、軸・頂点・凸の情報を得ることができないのが難点です。この式のままだと、グラフを描くことができません。ですから、軸・頂点・凸の情報を得るために、標準形の式に変形する必要があります。

2つの2次関数の式を見比べると、標準形の式は、$a{\left( x-p \right)}^{2}$ の形をもつことから、一般的な2次式を部分的に因数分解した式だと考えることができます。

一般的な2次式から $a{\left( x-p \right)}^{2}$ の形を作ることを「平方完成」と言います。与式を自力で標準形の式に変形することで、グラフを描くのに必要な情報を得ることができるようになります。

2乗のことを平方と言うことがある。面積の単位などがそれにあたる。

2つの式の関係についてまとめると以下のようになります。
2次関数の式を平方完成して標準形で表す

平方完成の考え方

平方完成が必要な式には、変数 $x$ について、2次の項 $a{x}^{2}$ と1次の項 $+bx$ が存在します。この2つの項から乗法公式を利用して $a{\left( x-p \right)}^{2}$ の形を作ります。

利用する項は2次の項 $a{x}^{2}$ と1次の項 $+bx$ の2つ。定数項 $+c$ は使わない。

利用する乗法公式はこちらです。

\begin{equation*}
{x}^{2} +2ax + {a}^{2} = {\left( x-a \right)}^{2}
\end{equation*}

具体例を挙げて考えてみましょう。たとえば、${x}^{2} +6x$ を2乗の形に変形してみます。

このままでは乗法公式に当てはまらないので、2乗の形に因数分解できません。定数項を自分で作る必要があります。

定数項は、1次の項の係数との関係から、係数 $+6$ の半分である $+3$ を2乗した数 ${(+3)}^{2}$であることが分かります。

例) ${x}^{2} +6x$ から2乗の形をつくる
\begin{equation*}
{x}^{2} +6x +{\left( +3 \right)}^{2} = {\left( x+3 \right)}^{2}
\end{equation*}

係数と定数項の関係が分かれば、定数項を作ることで2乗の形を作り出すことができます。
平方完成するときのコツ

式変形するのは自由だが、式の値を変えないようにしよう

自分で定数項を作れば、2乗の形を作り出せることが分かりました。ここで注意したいのが、作り出した定数項はもともと与式にはなかったということです。

それを書き加えたということは、結果的に加算したことになり、そうすると式全体の値が変わっています。その不具合をなくすために、さらに同じ定数項を引くことで相殺されるようにします。

例) ${x}^{2} +6x$ から2乗の形をつくる
\begin{align*}
{x}^{2} +6x = \ &{x}^{2} +6x +{\left( +3 \right)}^{2} -{\left( +3 \right)}^{2} \\[ 5pt ]
= \ &{\left( x+3 \right)}^{2} -{\left( +3 \right)}^{2}
\end{align*}
発想は分母の有理化に近い。値は変わらないが、式の見た目が変わる変形。

一般に、平方完成の式は次のように表せます。乗法公式を変形すると得られる式です。

\begin{equation*}
{x}^{2} +2ax = {\left( x+a \right)}^{2} -{a}^{2}
\end{equation*}

このような平方完成ができるかどうかは、定数項を作るときに1次の項の係数を利用していることから、1次の項の有無で決まります。

平方完成のやり方は、乗法公式そのものを変形する方法で解説されることもある。自分の理解しやすい方法で仕組みを理解しよう。ただ、自分で項を作り出す考え方は式変形で使われることがあるので、知っておこう。

与式にある2次の項と1次の項、そして自分で作った定数項の3つの項を用いて、2乗の形を作ります。これが平方完成の考え方や仕組みです。
平方完成するときは定数項を自分で作っていることに注意

次は平方完成を扱った問題を解いてみましょう。

平方完成を扱った問題を解いてみよう

次の2次関数の式をそれぞれ平方完成してみましょう。
平方完成の問題演習

第1,2問の両方に定数項がありますが、無視して平方完成しましょう。2次の項と1次の項の2つの項と、自分で作った定数項を使って平方完成します。

第1問の解答・解説

\begin{equation*}
1. \quad {x}^{2} +6x +5
\end{equation*}

1次の項の係数を参考にして、定数項を作ります。係数の半分を2乗したものが定数項です。定数項を作ったら、式の値が変わらないように、同じ定数項を引いておきます。これでもとの式に戻ります。

\begin{align*}
&{x}^{2} +6x +5 \\[ 5pt ]
= \ &{x}^{2} +6x +3^2 – 3^2 +5
\end{align*}

${x}^{2} +6x +3^2$ で2乗の形を作り、残りの $- 3^2 +5$ を整理すると、平方完成が終了します。

\begin{align*}
&\vdots \\[ 5pt ]
= \ &{x}^{2} +6x +3^2 – 3^2 +5 \\[ 5pt ]
= \ &{\left( x+3 \right)}^{2} -4
\end{align*}

解答例やポイントは以下のようになります。
平方完成の問題演習 第1問の解答・解説

式変形に慣れてきたら、乗法公式を利用して一気に平方完成しよう。こちらの方が計算過程が少なく、素早く変形できる。

第2問の解答・解説

\begin{equation*}
2. \quad {x}^{2} -6x +8
\end{equation*}

第1問と同じように1次の項の係数を参考にして、定数項を作ります。

\begin{align*}
&{x}^{2} -6x +8 \\[ 5pt ]
= \ &{x}^{2} -6x +{\left( -3 \right)}^2 -{\left( -3 \right)}^2 +8
\end{align*}

${x}^{2} -6x +{\left( -3 \right)}^2$ で2乗の形を作り、残りの $-{\left( -3 \right)}^2 +8$ を整理すると、平方完成が終了します。

\begin{align*}
&\vdots \\[ 5pt ]
= \ &{x}^{2} -6x +{\left( -3 \right)}^2 -{\left( -3 \right)}^2 +8 \\[ 5pt ]
= \ &{\left( x-3 \right)}^{2} -1
\end{align*}
平方完成するときは、数の2乗を加減算するので、必ず正の数を加減算している。第2問では、$+3^2-3^2$ としても良い。

解答例やポイントは以下のようになります。
平方完成の問題演習 第2問の解答・解説

どちらの問題も易しい式変形ですが、このような易しいレベルの問題で平方完成の流れや仕組みを把握しましょう。

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書籍の紹介にもあるように、身近な現象を例に挙げて話が進むので、イメージしやすいかと思います。興味のある人は一読してみてはいかがでしょうか。

さいごに、もう一度まとめ

  • 2次関数では、式を標準形で表すのが基本。
  • 2次関数の式が一般的な2次式で表される場合、自分で標準形に変形する。
  • 標準形への変形は、平方完成で行う。
  • 平方完成では、1次の項の係数を利用。
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ちょっとど忘れしたときの公式・定理集

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