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数列の極限|漸化式と極限 -極限値を視覚的に見よう-

漸化式と極限 極限値を視覚的に見よう 数学III

今回は、漸化式と極限について学習しましょう。

漸化式は数学B「数列」で学習します。特に、隣接2項間の漸化式は入試でも頻出なので、しっかりマスターしておきたいところです。

今回は極限の話がメインなので、隣接2項間の漸化式についての詳しい解説は後述します。忘れた人はご確認下さい。

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漸化式と極限を扱った問題を解いてみよう

次の問題を考えてみましょう。

例題1
\begin{align*}
&\quad a_1 = 5 \ , \ a_{n+1} = \frac{2}{3} a_n + 1 \\[ 10pt ]
&\quad (n = 1 \ , \ 2 \ , \ 3 \ , \cdots ) \\[ 10pt ]
&\text{で定義される数列 $\{ a_n \}$ について、} \\[ 10pt ]
&\quad \displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_n \\[ 10pt ]
&\text{を求めよ。}
\end{align*}

例題1の解答・解説

例題1は、数列 $\{ a_n \}$ の一般項 $a_n$ の極限を求める問題です。極限を求めるためには、漸化式から数列 $\{ a_n \}$ の一般項 $a_n$ を求める必要があります。

特性方程式を使って漸化式を変形し、新しい数列の一般項から数列 $\{ a_n \}$ の一般項 $a_n$ を求めます。

例題1の解答例
\begin{align*}
&\text{漸化式を変形すると} \\[ 10pt ]
&\quad a_{n+1} – 3 = \frac{2}{3} \left( a_n – 3 \right) \\[ 10pt ]
&\text{数列 $\{ a_n – 3 \}$ は} \\[ 10pt ]
&\quad \text{初項} \ a_1-3 = 5-3 =2 \\[ 10pt ]
&\quad \text{公比} \ {\scriptsize {\frac{2}{3}}} \\[ 10pt ]
&\text{の等比数列であるので、その一般項は} \\[ 10pt ]
&\quad a_n – 3 = 2 \cdot {\left( \frac{2}{3} \right)}^{n-1} \\[ 10pt ]
&\text{よって、数列 $\{ a_n \}$ の一般項 $a_n$ は} \\[ 10pt ]
&\quad a_n = 2 \cdot {\left( \frac{2}{3} \right)}^{n-1} +3
\end{align*}

数列 $\{ a_n \}$ の一般項 $a_n$ を求めたら、極限値 $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_n$ を求めます。

例題1の解答例つづき
\begin{align*}
&\qquad \vdots \\[ 10pt ]
&\quad a_n = 2 \cdot {\left( \frac{2}{3} \right)}^{n-1} +3 \\[ 10pt ]
&\text{よって、} \\[ 10pt ]
&\quad \displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_n \\[ 10pt ]
&= \displaystyle \lim_{ n \to \infty } \biggl\{ 2 \cdot {\left( \frac{2}{3} \right)}^{n-1} +3 \biggr\} \\[ 10pt ]
&= 3
\end{align*}

漸化式と極限の関係

例題1の結果から、一般項 $a_n$ の極限値 $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_n$ について以下のことが分かります。

特性方程式の解と極限値との関係
\begin{align*}
&\text{特性方程式} \\[ 10pt ]
&\quad \alpha = \frac{2}{3} \alpha + 1 \\[ 10pt ]
&\text{の解は $\alpha = 3$ であり、また、} \\[ 10pt ]
&\quad a_1 = 5 \ , \ a_{n+1} = \frac{2}{3} a_n + 1 \\[ 10pt ]
&\text{の $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_n$ も} \\[ 10pt ]
&\quad a_n \to \alpha = 3 \\[ 10pt ]
&\text{となる。}
\end{align*}

以上のことから、漸化式 $a_{n+1} = pa_{n} + q \quad ( p \ , \ q \ \text{は定数} \ , \ p \neq 1 )$ で表される数列 $\{ a_n \}$ では、その一般項 $a_n$ の極限値は特性方程式の解 $\alpha$ の値に近づくことが分かります。

このことを知っていると、極限値を予測したうえで問題に取り組むことが可能になります。

極限値を視覚的に見て予測する

次は極限値 $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_n$ を視覚的に捉えてみましょう。特性方程式の $\alpha$ を $x$ に置き換えてみます。

\begin{align*}
&\text{特性方程式の $\alpha$ を $x$ に置き換えると、} \\[ 10pt ]
&\quad x = \frac{2}{3} x + 1
\end{align*}

特性方程式が $x$ についての方程式になりました。この式は以下のように解釈することができます。

グラフの交点の話に置き換える
\begin{align*}
&\quad x = \frac{2}{3} x + 1 \\[ 10pt ]
&\text{は、2つのグラフ} \\[ 10pt ]
&\left\{
\begin{array}{l}
y = x \\
y = \frac{2}{3} x + 1
\end{array}
\right. \\[ 10pt ]
&\text{の交点の $x$ 座標を求める式である。}
\end{align*}

以上のことから、特性方程式の代わりにグラフの交点の話に置き換えると、漸化式の変形を以下のように解釈できます。

漸化式をグラフを利用して変形
\begin{align*}
&\text{ 1次型の漸化式 } \\[ 10pt ]
&\quad a_{n+1} = pa_{n} + q \\[ 10pt ]
&\quad ( p \ , \ q \ \text{は定数} \ , \ p \neq 1 ) \\[ 10pt ]
&\text{は、2つのグラフ} \\[ 10pt ]
&\left\{
\begin{array}{l}
y = x \\
y = px + q
\end{array}
\right. \\[ 10pt ]
&\text{の交点の $x$ 座標を $x = \alpha$ とすると、} \\[ 10pt ]
&\quad a_{n+1} = pa_{n} + q \\[ 10pt ]
&\qquad \iff a_{n+1} – \alpha = p \left( a_{n} – \alpha \right) \\[ 10pt ]
&\text{と変形できる。}
\end{align*}

さらに先ほどの極限値の話も加えると、漸化式と極限の関係をグラフを使って以下のように解釈できます。

極限とグラフの関係
\begin{align*}
&\text{ 1次型の漸化式 } \\[ 10pt ]
&\quad a_{n+1} = pa_{n} + q \\[ 10pt ]
&\quad ( p \ , \ q \ \text{は定数} \ , \ p \neq 1 ) \\[ 10pt ]
&\text{の $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_n$ は、2つのグラフ} \\[ 10pt ]
&\left\{
\begin{array}{l}
y = x \\
y = px + q
\end{array}
\right. \\[ 10pt ]
&\text{の交点の $x$ 座標を $x = \alpha$ とすると、} \\[ 10pt ]
&\text{$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_n$ は} \\[ 10pt ]
&\quad a_n \to \text{交点の $x$ 座標 $\alpha$} \\[ 10pt ]
&\text{となる。}
\end{align*}

このことから、一般項 $a_n$ は、$n \to \infty$ のとき、2つのグラフの交点の $x$ 座標に近づくことが分かります。このように漸化式をグラフと関連付けることは、極限値が視覚的に見える(予測できる)というメリットがあります。

高校数学では抽象的な数式を扱うことが多いので、イメージの湧かない人が多いかもしれません。ですから、グラフで視覚化できると、問題に取り組みやすくなるのではないかと思います。

次は、いくつかの例をグラフを使って考えてみましょう。

極限値を予測してみよう

例題2
\begin{align*}
&\quad a_1 = 1 \ , \ a_{n+1} = \sqrt{ 2a_n + 3 } \\[ 10pt ]
&\quad (n = 1 \ , \ 2 \ , \ 3 \ , \cdots ) \\[ 10pt ]
&\text{で定義される数列 $\{ a_n \}$ について、} \\[ 10pt ]
&\text{数列 $\{a_n\}$ が極限値 $\alpha$ をもつとき、$\alpha$ の値を求めよ。}
\end{align*}

扱いの難しそうな漸化式ですが、グラフを使えば極限値を予測することができます。

極限値をグラフで予測する
\begin{align*}
&\text{漸化式より、2つのグラフ} \\[ 10pt ]
&\left\{
\begin{array}{l}
y = x \\
y = \sqrt{ 2x + 3 }
\end{array}
\right. \\[ 10pt ]
&\text{の交点の $x$ 座標を考える。}
\end{align*}

2つのグラフを図示すると以下のようになります。

漸化式を視覚化例題2

図から $n \to \infty$ のとき、$a_n$ は2つのグラフの交点の $x$ 座標 $3$ に近づくことが予想されます。これより、$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_n = 3$ と予測できます。

実際には以下のようにして、極限値を求めます。

例題2の解答例
\begin{align*}
&\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_n = \alpha \ \text{とすると、} \\[ 10pt ]
&\quad \displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_n = \displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n+1} = \alpha \\[ 10pt ]
&\text{より、漸化式から} \\[ 10pt ]
&\quad \alpha = \sqrt{2 \alpha +3} \quad \text{…①} \\[ 10pt ]
&\text{①の両辺を2乗すると} \\[ 10pt ]
&\quad {\alpha}^{2} = 2 \alpha +3 \\[ 10pt ]
&\text{より、$\alpha = -1 \ , \ 3$} \\[ 10pt ]
&\text{$\alpha = -1$ は①を満たさないので、} \\[ 10pt ]
&\quad \alpha = 3
\end{align*}
例題3
\begin{align*}
&\quad a_1 = 3 \ , \ a_{n+1} = \frac{1}{2} \left( a_n + \frac{1}{a_n} \right) \\[ 10pt ]
&\quad (n = 1 \ , \ 2 \ , \ 3 \ , \cdots ) \\[ 10pt ]
&\text{で定義される数列 $\{ a_n \}$ について、} \\[ 10pt ]
&\text{数列 $\{a_n\}$ が極限値 $\alpha$ をもつとき、$\alpha$ の値を求めよ。}
\end{align*}

こちらも一見して扱いにくそうな漸化式です。こんな漸化式でもグラフを使えば極限値を予測できます。

極限値をグラフで予測する
\begin{align*}
&\text{漸化式より、2つのグラフ} \\[ 10pt ]
&\left\{
\begin{array}{l}
y = x \\
y = \frac{1}{2} \left( x + \frac{1}{x} \right)
\end{array}
\right. \\[ 10pt ]
&\text{の交点の $x$ 座標を考える。なお、} \\[ 10pt ]
&{\scriptsize {y = \frac{1}{2} \left( x + \frac{1}{x} \right)}} \ \text{のグラフは、} \\[ 10pt ]
&\quad y=\frac{1}{2} x \ , \ y= \frac{1}{2x} \\[ 10pt ]
&\text{のグラフを足し合わせて図示する。}
\end{align*}

2つのグラフを図示すると以下のようになります。

漸化式を視覚化例題3

図から $n \to \infty$ のとき、$a_n$ は2つのグラフの交点の $x$ 座標 $1$ に近づくことが予想されます。これより、$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_n = 1$ と予測できます。

例題のように隣接2項間の漸化式であれば、グラフを用いて極限値を予測できます。極限値を予測したうえで問題に取り組めるので、ほとんどの場合で答案を手際よく作成できるようになります。

ただし、実際には漸化式から一般項を求めたり、証明が必要だったりするので、あくまでも予測として利用しましょう。

例題2 , 3は誘導型の小問形式で出題

例題2 , 3 のような問題は、一般に誘導型の問題になっています。たとえば例題3は、以下のような小問形式で出題されます。

例題2 , 3は実際は小問形式
\begin{align*}
&\quad a_1 = 3 \ , \ a_{n+1} = \frac{1}{2} \left( a_n + \frac{1}{a_n} \right) \\[ 10pt ]
&\quad (n = 1 \ , \ 2 \ , \ 3 \ , \cdots ) \\[ 10pt ]
&\text{で定義される数列 $\{ a_n \}$ について、} \\[ 10pt ]
&\text{(1) 数列 $\{a_n\}$ が極限値 $\alpha$ をもつとき、$\alpha$ の値を求めよ。} \\[ 10pt ]
&\text{(2) (1)の $\alpha$ について、$a_n \geqq 1 \ , \ a_{n+1} -1 \leqq \frac{1}{2} \left( a_{n} -1 \right)$ を示せ。} \\[ 10pt ]
&\text{(3) $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_n = \alpha$ であることを示せ。}
\end{align*}

小問(2) , (3)はグラフを見れば明らかですが、きちんと証明する必要があります。また、小問をひとまとめにして出題される場合もあります。そんな場合でも、小問形式の問題をしっかりマスターしておけばきちんと対応できるでしょう。

次ページでは隣接2項間の漸化式について解説しています。数学Bの数列では頻出なので、少しでも足しになれば幸いです。

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