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数と式|絶対値を扱った問題を解いてみよう

絶対値を扱った方程式 数学I

絶対値の記号の使い方とその外し方を学習した後は、絶対値を扱った問題を解いてみましょう。

参考 数と式|絶対値について
参考 中学数学|正負の数について

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数や式の値の正負を吟味する

絶対値を扱った問題では、絶対値の記号に挟まれた数や式について、値の正負を吟味することが大切です。絶対値の記号を外すとき、その外し方が正の数と負の数とで異なるからです。

値の正負が不明のときは、自分で場合分けすることによって吟味ができるようになります。絶対値を考える対象が数や式のどちらでも値の正負をすぐに確認しましょう。

絶対値を扱った問題を解いてみよう

以下の問題を解いてみましょう。
絶対値を扱った演習問題

第1問の解答・解説

\begin{equation*}
1. \quad \vert \sqrt{ 3 } -2 \vert
\end{equation*}

絶対値記号を付けただけでは絶対値を求めたことにならない

第1問は「絶対値を求めよ」という問題です。与式にはすでに絶対値の記号が付いているので、もう答えが出ていると思うでしょうが、そうではありません。

絶対値の記号を付けただけでは「その数や式を絶対値として扱う」という宣言をしただけで、絶対値を求めたことにはなりません。たとえば負の数に絶対値の記号を付けただけでは、絶対値 $3$ を求めたことにはなりません。

「絶対値を求めよ」と言われたら、絶対値の記号を外した形で表そう。

数や式の値の正負が自分で判断できる場合

第1問では、数 $\sqrt{ 3 } -2$ の絶対値を記号なしで表します。数 $\sqrt{ 3 } -2$ は多項式ですが、1つの数と見なします。

無理数 $\sqrt{ 3 }$ は循環しない無限小数ですが、概数で表せます。そうすれば、数 $\sqrt{ 3 } -2$ の正負を吟味することができるので、絶対値の記号を外せそうです。

$\sqrt { 3 } = 1.73 \cdots$ なので $\sqrt { 3 } \lt 2$ です。つまり $\sqrt{ 3 } -2 \lt 0$ なので、数 $\sqrt{ 3 } -2$ は負の数です。

負の数の扱いに従って絶対値の記号を外します。

\begin{align*}
\vert \sqrt{ 3 } -2 \vert = \ &- \left( \sqrt{ 3 } -2 \right) \\[ 5pt ]
= \ &- \sqrt{ 3 } +2
\end{align*}

記号を外した後の数が正の数になっていることが分かります。

このように数や式の値の正負が判断できる場合、正負に合わせた扱い方によって記号を外します。解答例は以下のようになります。
無理数と有理数を含む数の絶対値

第2問の解答・解説

\begin{equation*}
2. \quad \vert x \vert = 5
\end{equation*}

絶対値を扱った方程式の基礎となる問題

第2問は、絶対値を扱った方程式の中で基礎となる問題です。絶対値を扱った方程式では、本問の形にして解を求めるのが基本的な解き方です。

公式化されている問題。絶対値の意味や方程式の意味を考えながら理解しよう。

第2問は「方程式を満たす $x$ の値を求めよ」という意味ですが、絶対値に注目すると「絶対値が $5$ となる(点に対応する)数 $x$ を求めよ」と解釈することもできます。

これが方程式の意味や絶対値の意味を考えるということ。このような解釈ができれば公式を覚える必要はないかもしれない。

絶対値が $5$ となる点は数直線上に2つありました。その点に対応する数は $-5 \ , \ +5$ です。ですから方程式の解は $x = \pm5$ です。

「方程式を解いた」というよりも「絶対値の定義を利用して解いた」という表現の方が正しいかもしれません。解答例は以下のようになります。
絶対値を扱った方程式

第2問を場合分けで解いた場合

絶対値の定義を利用して第2問を解きましたが、数の正負を自分で場合分けして解くこともできます。

場合分けのときの注意点は、得られた解が場合分けの条件を満たすか吟味することです。解の解答例は以下のようになります。
場合分けによって絶対値記号を外す場合

場合分けでの解き方は、どちらかと言うと機械的な解き方で、多項式の絶対値のときにはこの解き方が向いています。それに対して、単項式の絶対値のような場合(第1,2問)、場合分けよりも数直線を使って視覚的に解く方が簡単です。

単項式か多項式かによって、絶対値の求め方を変えよう。たとえば単項式なら数直線、多項式なら場合分け。

第3問の解答・解説

\begin{equation*}
3. \quad \vert x -1 \vert = 5
\end{equation*}

多項式を単項式に置き換えて解きやすい形にする

第3問は、第2問と同じように方程式の問題です。記号の中が単項式 $x$ から多項式 $x-1$ になっていますが、1つの数として扱います。

数 $x-1$ の絶対値が $5$ になる点に対応する数を考えれば良いのですが、このままだと分かりにくいので $x-1=X$と置き換えます。すると、第2問と同じ解き方ができることが分かります。

\begin{align*}
3. \quad \vert x -1 \vert = \ &5 \\[ 5pt ]
\vert X \vert = \ &5 \\[ 5pt ]
X = \ &\pm 5
\end{align*}

絶対値の記号を外したらもとの多項式 $x-1$ に戻します。そして、文字 $x$ について解くと方程式の解を得られます。

解答例は以下のようになります。
多項式を単項式に置き換える

もちろん、場合分けをして記号を外す方法でも解ける。この場合、「$x-1 \geqq 0$、すなわち $x \geqq 1$のとき」と「$x-1 \lt 0$、すなわち $x \lt 1$」のときの2通り。

また、置き換え無しで解くと別解のようになります。多項式を1つのかたまりとして扱えればこちらの方が楽です。最終的には別解を目標に演習をこなしましょう。
置き換え無しで方程式を解く

絶対値の記号がついていない残りの項は定数か

第2,3問のような問題では、場合分けしないで解きます。解がいつも同じ形になるからです。

ただ、いつも利用できるわけではないので注意が必要です。第2,3問のような解き方ができるのは、右辺の項が定数であるときです。

「右辺の項が定数のとき」というのは、厳密には正しい表現ではありません。正しくは「絶対値の記号がついていない、残りの項が定数であるとき」です。

第2問のように、絶対値がついた項 $\vert x \vert$ と定数 $5$の2項だけで方程式ができています。第3問のように、絶対値の中が変わっていても構いません。

$\vert x \vert = a$ ($a$ は定数)が基本の形。これに当てはまるとき、場合分けなしで絶対値の記号を外せる。$x$ は単項式でも多項式でも良い。

さいごに、もう一度まとめ

  • 絶対値を扱った方程式では、基本の形を意識しよう。
  • 基本の形では、絶対値の定義から数直線を利用して解く。
  • 自分で場合分けをするのは、基本の形に当てはまらないとき。
  • 場合分けでは、解が条件を満たすか吟味する。
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