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数と式|絶対値について

絶対値の定義について数学I

今回は絶対値について学習します。絶対値については中学でも学習しますが、意外と理解に苦しむ人が多い単元です。

高校数学ではもう少し詳しく学習するので、絶対値の定義やその意味をしっかりと理解しましょう。

参考 中学数学|正負の数について

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絶対値のおさらい

絶対値は、中学で正負の数を学習したときに出てきた用語で、実数 $a$ を数直線上で表したときの原点 $O$ から $a$ までの距離のことです。たとえば、$-3$ の絶対値は $3$ です。

正負の数は向きと絶対値の2つの意味をもつ数です。ですから、向きを含む正負の数をそのまま絶対値として使うことはできません。ただ、正負の数には大きさの情報が含まれているので、全く使わないのは勿体ないです。

そういうわけで、正負の数から絶対値の情報だけを使いたいときは特別な記号を使います。その記号が正負の数に付いていれば、絶対値だけを考えていることが分かります。

絶対値を記号化して扱うのが新たに学習することの1つです。

絶対値の記号化

高校数学での絶対値の定義は以下のようになります。

絶対値とは、実数 $a$ を数直線上で表したときの原点 $O$ から $a$ までの距離を言い、このとき $a$ の絶対値という。また $a$ の絶対値を $\vert a \vert$と表す。

絶対値を記号化して使えるようになるのがここでの目標です。

数はもちろん、整式であっても縦線2本で挟めば絶対値。この記号を使えば「この数式は点と原点との距離だけを考えています」とアピールできる。

絶対値の記号を実際に使ってみよう

数の絶対値

ある数の絶対値、たとえば $3$ の絶対値 $\vert 3 \vert$ と $-3$ の絶対値 $\vert -3 \vert$ について考えてみましょう。

$3$ の絶対値 $\vert 3 \vert$ は $3$ に対応する点 $A$ と原点 $O$ との距離 $OA$を、$-3$ の絶対値 $\vert -3 \vert$ は $-3$ に対応する点 $B$ と原点 $O$ との距離 $OB$ を表しています。

数の絶対値の考え方

図のように数直線を書くとすぐに分かりますが、$3 \ , \ -3$ に対応する点と原点の距離、つまり絶対値は、測っている向きが異なるだけでともに $3$ であることが分かります。

このように符号が向きを表すので、正負の数のままでは絶対値を表せないことが分かると思います。

また、絶対値が $0$ でないとき、絶対値の等しい点が必ず2つあることも分かります。

未知の数の絶対値

未知の数 $a \ , \ -a$ の絶対値を記号化した $\vert a \vert \ , \ \vert -a \vert$ を考えます。ここでは、$a$ を正の数として考えています。

$a$ の絶対値 $\vert a \vert$ は $a$ に対応する点 $A$ と原点 $O$ との距離 $OA$ を表し、$-a$ の絶対値 $\vert -a \vert$ は $\vert -a \vert$ に対応する点 $B$ と原点 $O$ との距離 $OB$ を表します。

未知の数の絶対値

数のときと同じように、縦線2本で未知の数 $a \ , \ -a$ を挟めば絶対値を表すことができます。

文字を使うと分かりにくくなるが、絶対値の記号で挟まれているのは正負の数

絶対値を記号なしで表す

数の絶対値の場合で規則性を知る

正負の数は向きと絶対値の2つの情報をもつので、絶対値の記号は便利な記号です。ただ、絶対値を計算に利用するとき、この記号が邪魔になります。

ですから、絶対値の記号を外し方を知っておく必要があります。ただし、記号を外した後の数は絶対値だということは忘れないようにしましょう。

絶対値の計算は距離を使った計算なので、正の数だけの計算と考えるとよい。向きの情報を含めた正負の数の計算ではないことに注意しよう。

先ほど例に挙げた $3$ の絶対値 $\vert 3 \vert$ と $-3$ の絶対値 $\vert -3 \vert$ を記号なしで表すと、ともに $3$ です。

\begin{align*}
\vert 3 \vert = &3 \\[ 10pt ]
\vert -3 \vert = &3
\end{align*}

具体的に値が分かっていれば、絶対値の記号を外すことは簡単です。それに対して、文字を含む数や整式の絶対値では、具体的な値が分かりません。

ですから、どんな場合あっても絶対値の記号を外せる方法を知っておく必要があります。

正の数 $3$ の絶対値 $\vert 3 \vert$ は記号なしで表せば $3$ となり、正の数とその絶対値とは外見が同じです。このことを利用します。

\begin{equation*}
\vert 3 \vert = 3
\end{equation*}
正の数であれば、記号を外しても絶対値としてそのまま流用できる。

負の数の絶対値では正の数にする処理を

問題なのは負の数の場合です。負の数 $-3$ の絶対値 $\vert -3 \vert$ は記号なしで表せば $3$ でした。この場合、絶対値の記号をそのまま外すと $-3$ になってしまいます。負の数のままでは絶対値の定義に反するので、記号を外すだけでは上手くいきません。

負の数の絶対値を、絶対値の定義に反することなく、かつ記号を外して表すためには、マイナスの符号が邪魔になります。このマイナスの符号を適切に処理するのが、負の数の絶対値を扱うときのポイントになります。

\begin{equation*}
\vert -3 \vert = \ – \left( -3 \right) = 3
\end{equation*}

符号の処理と言っても、 $-1$ を掛けて負の数を正の数に変えるだけです。

負の数から正の数に変えるには、$-1$を掛ければよい。$-1$ を掛ける処理は、数の値を変えることなく、符号だけを変える処理。

絶対値の記号の外し方についてまとめると以下のようになります。
数の絶対値の考え方

負の数の絶対値では「負の数を正の数にする処理を行う」と覚えよう。「符号を取る」では単項式や多項式などの整式に対応できない。

未知の数で絶対値の記号を外す

数の絶対値であれば、数の符号をみればその正負を判断でき、絶対値の記号を簡単に外せます。しかし、未知の数 $a$ の場合、外見から正負を判断することができないので、迂闊に記号を外せません。

正負の判断ができさえすれば、未知の数 $a$ であっても絶対値の記号を外せます。そのための手段が「場合分け」です。

未知の数 $a$ がどんな数かを場合分けするとき、「正の数のとき」「$0$ のとき」「負の数のとき」の3通りが考えられます。ただ、未知の数 $a$ が $0$ のときは絶対値の記号を外す前後に違いがないので、正の数のときと一緒にしてしまいます。

$a \geqq 0$ のとき $\vert a \vert = a$
$a \lt 0$ のとき $\vert a \vert = -a$
未知の数 $a$ に対する場合分けは、「$0$以上のとき」と「負の数のとき」の2通り

未知の数 $a$ が負の数であれば、絶対値の記号をそのまま外すわけにはいきません。ですから、未知の数 $a$ に $-1$ を掛けて、負の数を正の数に変える処理を行います。

$-1$ を掛けたことで外見上は負の数に見えても、$a$ が負の数なので実質は正の数。未知の数 $a$ に負の数を代入してみよう。

具体的な正負の数で記号の外し方の規則性を見つけ、未知の数 $a$ に対して同じ扱いをしています。未知の数の絶対値についてまとめると以下のようになります。
未知の数の絶対値の記号を外す

具体例から一般化(公式化)することのメリットは、形や条件が同じであれば同じように扱うことができる点にあります。易しく具体的な数を扱っているときに過程を意識して学習することが大切です。そうすれば、文字を扱った抽象的な整式になっても理解できるようになります。

さいごに、もう一度まとめ

  • 絶対値は、ある点と原点との距離のことで正の数になる。
  • 絶対値は記号を使って表せる。
  • 正の数の絶対値では、記号を外して絶対値として扱える。
  • 負の数の絶対値では、記号を外すときは負の数を正の数にする。
  • 未知の数の絶対値では、場合分けをしてから記号を外す。
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