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積分法|定積分と和の極限について

定積分と和の極限について数学III

今回は数Ⅲの区分求積法と定積分の関係を扱った問題についてです。

区分求積法と定積分の関係については以前の記事で紹介しています。今回は、実践編として問題を解いてみましょう。

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区分求積法と定積分の関係を扱った問題について

区分求積法と定積分の関係を扱った問題は、積分法「定積分と和の極限」という単元から出題されます。ちなみに、区分求積法と定積分の関係は以下のように表されます。

区分求積法と定積分の関係
\begin{equation*}
\int_{a}^{b} {f \left( x \right) dx} = \lim_{n \to \infty} {\frac{b-a}{n}} \sum_{k=1}^{n}{f \left( a + \frac{b-a}{n} k \right)}
\end{equation*}

特に、$0 \leqq x \leqq 1$ の区間のとき
\begin{equation*}
\int_{0}^{1}{ f \left( x \right) dx} = \lim_{n \to \infty} {\frac{1}{n}} \sum_{k=1}^{n} {f \left( \frac{k}{n} \right)}
\end{equation*}

右辺は、細かく等分した短冊の面積の和を求め、それの極限を取ったものでした。ですから、与式として和の極限が与えてあり、その式の値を求めよ、というのが問題の趣旨です。

ここで紹介する問題は、図形の面積を求めると言うよりも単なる計算問題と捉えた方が取り組みやすいでしょう。では、問題にチャレンジしてみましょう。

区分求積法と定積分の関係を扱った問題を解いてみよう

次の式の値を求めよ。
\begin{align*}
&(1) \quad \lim_{n \to \infty} {\left( \frac{2}{{n}^{\tiny{2}} + 1} \ + \ \frac{4}{n^{\tiny{2}} + 2^{\tiny{2}}} \ + \ \frac{6}{n^{\tiny{2}} + {3}^{\tiny{2}}} \ + \cdots \cdots + \ \frac{2n}{n^{\tiny{2}} + n^{\tiny{2}}} \right)} \\[ 10pt ]
&(2) \quad \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{2n}{ \frac{1}{n + k} }
\end{align*}

問(1)の解答・解説

問(1)
\begin{equation*}
(1) \quad \lim_{n \to \infty} {\left( \frac{2}{n^{\tiny{2}} + 1} \ + \ \frac{4}{n^{\tiny{2}} + {2}^{\tiny{2}}} \ + \ \frac{6}{n^{\tiny{2}} + 3^{\tiny{2}}} \ + \cdots \cdots + \ \frac{2n}{n^{\tiny{2}} + n^{\tiny{2}}} \right)}
\end{equation*}

いかにもと言う感じの問題です。和の極限が与えられています。規則的に数が変化していることにも注目です。

式変形の手順は「積分法|定積分と区分求積法の関係について」でまとめていますが、再掲しておきます。

和の極限の変形手順

  1. 式から「$1/n$」(短冊の横幅)をくくり出す。
  2. 「$1/n$」をくくり出した残りは、$y$ 座標の和(縦の長さの和)であるので、各項で数字が変化している箇所を探す。
  3. 数字が変化している箇所を見つけたら、分母を $n$ とする分数の形に変形する。
  4. Σ(シグマ)を使うとき、一般項は$n$ 番目の項を参考にして、分子を「$k$」に置き換える。
  5. 「$k/n$」を $x$ に置き換えたものが、定積分で使う関数 $f\left( x \right)$ の式。
  6. この関数の式を使って、$0 \leqq x \leqq 1$ の区間で定積分する。

式全体で変形するのは大変なので、$k$ 番目の項だけを抜き出して考えてみましょう。$k$ 番目の項は、和の最後の項を参考にすると以下のようになります。

$k$ 番目の項を抜き出す
\begin{equation*}
\frac { 2k }{ { n }^{ \tiny{ 2 } } + { k }^{ \tiny{ 2 } } }
\end{equation*}

ただし、すべての $n$ を $k$ に置き換えれば良いわけではないことに注意しましょう。和の各項で数が変化しているところだけです。この $k$ 番目の項を変形します。

問(1)の式変形
\begin{align*}
\frac { 2k }{ { n }^{\tiny{2}} + { k }^{\tiny{2}} } = &\frac { 2k }{ n^{\tiny{2}} \Bigl( 1 + \frac{k^{\tiny{2}}}{n^{\tiny{2}}} \Bigr) } \\[ 10pt ]
= &\frac{1}{n} \cdot \frac { 2 \cdot \frac{k}{n} }{ 1 + {\Bigl( \frac{k}{n} \Bigr)}^{\tiny{2}} }
\end{align*}

$1/n \ , k/n$ をつくるのが式変形のポイントです。$k/n$ を $x$ に置き換えれば、定積分する関数の式が分かります。

与式から変形して、定積分を計算するまでの解答例です。

問(1)の解答例
\begin{align*}
\text{(与式)} = &\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac { 2 \cdot \frac{k}{n} }{ 1 + {\Bigl( \frac{k}{n} \Bigr)}^{\tiny{2}} } \\[ 10pt ]
= &\int_{0}^{1} \frac{2x}{1+x^{\tiny{2}}} \ dx \\[ 10pt ]
= &\int_{0}^{1} \frac{ \bigl( 1+x^{\tiny{2}} \bigr)’ }{ 1+x^{\tiny{2}} } \ dx \\[ 10pt ]
= &\Bigl[ \log {\bigl( 1+x^{\tiny{2}} \bigr)} \Bigr]_0^1 \\[ 10pt ]
= &\log 2
\end{align*}

図形の面積とは関係なしで、ただ定積分の式へ置き換えるという問題です。また、公式の右辺を左辺に置き換える問題なので、どちらからでも使えるようにしておきましょう。

和の極限から定積分に置き換える方がよく出題される
\begin{equation*}
\lim_{n \to \infty} {\frac{b-a}{n}} \sum_{k=1}^{n}{f \left( a + \frac{b-a}{n} k \right)} = \int_{a}^{b} {f \left( x \right) dx}
\end{equation*}

特に、$0 \leqq x \leqq 1$ の区間のとき
\begin{equation*}
\lim_{n \to \infty} {\frac{1}{n}} \sum_{k=1}^{n} {f \left( \frac{k}{n} \right)} = \int_{0}^{1}{ f \left( x \right) dx}
\end{equation*}

公式は、左辺から右辺への置き換えばかりではない。むしろ、右辺から左辺に置き換える問題の方が多い。

問(2)の解答・解説

問(2)
\begin{equation*}
(2) \quad \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{2n}{\frac{1}{n+k}}
\end{equation*}

問(2)は、和をΣで表しているだけで、問(1)と変わりません。一般項がはじめから分かるので、問(2)の方が解きやすいかもしれません。

ただし、注意したいのは $k=1 \ , \ 2 \ , \cdots , \ 2n$となっていることです。$2n$ 等分していることに気付かないと引っかかってしまいます。

まずは和の部分だけ抜き出して、式変形を済ませてしまいます。

問(2)の式変形
\begin{align*}
\sum_{k=1}^{2n} \frac{1}{n+k} = &\sum_{k=1}^{2n} \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1+\frac{k}{n}} \\[ 10pt ]
= &\sum_{k=1}^{2n} \frac{2}{2n} \cdot \frac{1}{1 + \bigl( \frac{2}{2n} \bigr) k} \\[ 10pt ]
= &\frac{2}{2n} \sum_{k=1}^{2n} \frac{1}{1 + \bigl( \frac{2}{2n} \bigr) k}
\end{align*}

$2/2n$となっていることから、区間 $[0 \ , \ 2]$ を $2n$ 等分すると考えることができます。区分求積法と定積分の関係を表す式をよく確認しておきましょう。

区分求積法と定積分の関係
\begin{equation*}
\int_{a}^{b} {f \left( x \right) dx} = \lim_{n \to \infty} {\frac{b-a}{n}} \sum_{k=1}^{n}{f \left( a + \frac{b-a}{n} k \right)}
\end{equation*}

特に、$0 \leqq x \leqq 1$ の区間のとき
\begin{equation*}
\int_{0}^{1}{ f \left( x \right) dx} = \lim_{n \to \infty} {\frac{1}{n}} \sum_{k=1}^{n} {f \left( \frac{k}{n} \right)}
\end{equation*}

問(2)の式と公式との対応関係を確認すると、$a \Rightarrow 0 \ , \ b \Rightarrow 2 \ , \ n \Rightarrow 2n$です。文字や数が変わっても公式との対応関係を読み取れるようにしておきましょう。

公式を利用するとき、そのまま使うことはほとんどない。何に注目するのかを覚えて公式を使いこなそう。

以上のことから解答例は以下のようになります。

問(2)の解答例
\begin{align*}
\text{(与式)} = &\sum_{k=1}^{2n} \frac{1}{n+k} \\[ 10pt ]
= &\frac{2}{2n} \sum_{k=1}^{2n} \frac{1}{1 + \bigl( \frac{2}{2n} \bigr) k} \\[ 10pt ]
= &\int_{0}^{2} \frac{1}{1+x} \ dx \\[ 10pt ]
= &\Bigl[ \log |1+x| \Bigr]_0^2 \\[ 10pt ]
= &\log 3
\end{align*}

問(2)は取り組みやすそうな問題ですが、ちゃんと引っ掛けが用意してあります。何等分しているかをきちんと確認してから式変形をしましょう。

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