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数と式|単項式と多項式について

単項式と多項式をはじめから学びなおす 数学I

整式である単項式と多項式のそれぞれについて学習します。

中学でも単項式と多項式を扱ってきましたが、互いに成り立ちが異なるので、それに伴いその扱い方も変わります。

高校ではより複雑な式を扱いますが、どちらの式か区別できるようになっておきたいところです。

式の扱いにミスが多いのは、もしかすると単項式と多項式を区別できていないのが原因かもしれません。

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整式の分類

整式の確認です。「整式」は大まかに単項式多項式に分類されます。

「整式」という用語自体は、単項式と多項式の総称なので、特別難しく考える必要はありません。しかし、実際に整式を扱うとなると話は別です。

たとえば計算するときに、単項式と多項式を区別できなければ、思わぬ計算ミスをしてしまいます。

整式と言った場合、単項式と多項式のどちらのことを言っているのかを見極める必要があります。

単項式の「単」に注目

単項式は数や文字の積の形だけで表される式でした。

名称の通り、積の形だけで表される単項式は1つ(=単)のかたまり(=項)として扱います

なお、数または文字だけでも単項式として扱うので注意が必要です。

単項式の例として以下のようなものがあります。

\begin{equation*}
\frac { 1 }{ 5 } a \ ,\ 5x{ y }^{ 2 }
\end{equation*}

単項式は積の形で表されているので、以下のようにそれぞれ書き換えることができます。

\begin{align*}
&\frac { 1 }{ 5 } \times a \\[ 10pt ]
&5\times x\times y\times y
\end{align*}

単項式は乗算の計算記号(×)を省略して簡略化した式で表記されています。

このように計算記号を省略したり、数字・文字の順に並べたりなどの表記ルールによって、単項式をできるだけ簡略化して表記することが可能になりました。

あくまでも表記上のルールなので、式の値を求めるときには、省略された「×」の計算記号を補って乗算する必要があります。

単項式と関わりのある用語

単項式と関わりのある用語には以下の2つがあります。

  • 次数
  • 係数

定義はそれぞれ以下のようになっています。

次数とは、文字を掛け合わせた数(=個数)のこと。
係数とは、文字以外の数の部分のことです。
単項式の次数

先ほどの単項式で次数を考えてみます。

\begin{align*}
&\frac { 1 }{ 5 } a=\frac { 1 }{ 5 } \times a \\[ 10pt ]
&5x{ y }^{ 2 }=5\times x\times y\times y
\end{align*}

掛け合わせた文字の個数をそれぞれ数えると、単項式の次数は順に1,3となります。

なお、累乗を含む単項式では、次数の数え間違いに注意する必要があります。
単項式の係数

係数は、文字の前にある、正負の数です。

たとえば、先ほどの単項式の場合、係数はそれぞれ、$1/5 \ , \ 5$ です。

「次数はいくらか?」「係数はいくらか?」などといった問題は、この単元以降になるとほとんど見かけません。

しかし、これらは直接的にしろ、間接的にしろ式を扱うときに頻繁に利用するので、この単元でしっかりマスターしておきましょう。

単項式のまとめ

  • 数や文字の積で表された式(定義)
  • 1つ(=単)のかたまり(=項)として扱う
  • 次数は文字の個数
  • 係数は文字の前にある正負の数
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