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頑張れ!受験生! 数学の公式・定理集あります。物理のヒント集始めました。
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図形と計量|三角比の相互関係について その2

三角比の相互関係についてその2 数学I

三角比の相互関係について学習しました。三角比の相互関係と言っても、正弦・余弦・正接の3つの関係を式で表すことでした。

今回も三角比の相互関係を学習するのですが、鋭角と鈍角に対する三角比の相互関係についてです。

作図しながら考えると意外と簡単に求めることができるので、実際に手を動かしながら考えてみると良いでしょう。

なお、記事の画像が見辛いときはクリックすると拡大できます。

参考 図形と計量|三角比の定義について
参考 図形と計量|三角比の拡張について
参考 図形と計量|三角比の相互関係について その1

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2つの角に対する三角比の相互関係について

鋭角( $0^{\circ} \lt \theta \lt 90^{\circ}$ )に対する三角比は、すべての角に対する三角比のもとになります。そのことは三角比の拡張で学習しました。

今回の相互関係は2つの角に対する三角比の相互関係です。

2つの鋭角に対する三角比の相互関係について

2つの角の和が90度のとき

2つの角の和が $90^{\circ}$のときを考えてみましょう。このとき2つの角はともに鋭角になります。

一般に、2つの角について以下のようなことが言えます。

2つの角の和が $90^{\circ}$ のとき
一方の角の大きさを $\theta$ とすると、
他方の角の大きさは $(90^{\circ}-\theta)$ と表せる。

2つの角の和が $90^{\circ}$ になる図形として、直角三角形が挙げられます。そこで図のような直角三角形ABCを考えます。

直角以外の残りの2つの内角はともに鋭角であり、それらの和は $90^{\circ}$ です(分かりやすいように角A , Bと表記します)。

直角三角形の2つの内角の関係

左図が角A、右図が角Bに注目して三角比を考えるときの図です。注目する角が異なるので、同じ直角三角形ABCでも向きを変えて作図しましょう。

それぞれの内角に対する三角比を求めます。

角Aに対する三角比
\begin{align*}
&\sin A = \frac{a}{c} \\[ 10pt ]
&\cos A = \frac{b}{c} \\[ 10pt ]
&\tan A = \frac{a}{b}
\end{align*}
角Bに対する三角比
\begin{align*}
&\sin B = \frac{b}{c} \\[ 10pt ]
&\cos B = \frac{a}{c} \\[ 10pt ]
&\tan B = \frac{b}{a}
\end{align*}

それぞれの三角比の右辺を見比べると、角A , Bに対する三角比の相互関係を式で表せます。

2つの角A , Bに対する三角比の相互関係
\begin{align*}
&\sin A = \cos B \\[ 10pt ]
&\cos A = \sin B \\[ 10pt ]
&\tan A = \frac{1}{\tan B}
\end{align*}

ここで角A , Bの関係を考えると、これらの和は $90^{\circ}$でした。ですから、角Bは、角Aを使って $B=90-A$と表せます。これを先ほどの式に代入すると以下のようになります。

一方の内角に対する三角比を他方の内角で表す
\begin{align*}
&\sin A = \cos \left( 90 – A \right) \\[ 10pt ]
&\cos A = \sin \left( 90 – A \right) \\[ 10pt ]
&\tan A = \frac{1}{\tan \left( 90 – A \right)} \\[ 10pt ]
&\text{角(90-A)について変形すると} \\[ 5pt ]
&\cos \left( 90 – A \right) = \sin A \\[ 10pt ]
&\sin \left( 90 – A \right) = \cos A \\[ 10pt ]
&\tan \left( 90 – A \right) = \frac{1}{\tan A}
\end{align*}

このような相互関係から分かるのは、2つの角の和が $90^{\circ}$であれば、一方の角に対する三角比を他方の角に対する三角比で表すことができるということです。

また、一般に、角Aの大きさをθとすると角Bの大きさを(90-θ)と表せるので、θを使った形を公式とすることが多いです。

これまでをまとめると以下のようになります。

2つの内角の和が90度であるときの相互関係

次は鋭角と鈍角の相互関係を考えてみましょう。

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