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頑張れ!受験生! 数学の公式・定理集あります。物理のヒント集始めました。
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物理のヒント集|ヒントその5.フックの法則でマイナスの符号は必要か

物理のヒント集 物理

第5回の物理のヒント集は、フックの法則についてです。フックの法則は、ばねの弾性力を求めるときに利用します。

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フックの法則の右辺にマイナスの符号があるのはなぜ!?

メガネ君
メガネ君

メガネ先生っ!教えてくださいっ!

メガネ先生
メガネ先生

メガネ君はいつも元気じゃのぅ。

メガネ君
メガネ君

教科書や参考書によって、フックの法則の右辺にマイナスの符号があるときとないときがあります。

メガネ先生
メガネ先生

確かにあるのぅ。

メガネ君
メガネ君

$x$ だけ伸びたり縮んだりしたとき、 $kx$ で弾性力の大きさが分かるので、マイナスの符号はいらないと思うのですが。

メガネ先生
メガネ先生

文字の定義に違いがあるんじゃよ。
ただ公式を暗記すれば良いというわけではないんじゃ。

メガネ君
メガネ君

何ですとっ!

フックの法則は視点の違いで2通りの表し方があります。教科書や参考書などによって表し方がまちまちですが、定義を確認すれば違いが分かります。

フックの法則の定義

ばねを引き伸ばす(押し縮める)と、ばねは自然長まで縮もう(伸びよう)とします。このとき、ばねに取り付けてある物体に力を及ぼします。この力のことを弾性力と言います。

ばねの伸び(縮み)を $x$ とし、そのときの弾性力の大きさを $F$ とします。このとき、$F$ は $x$ に比例し、$F$ と $x$ の間には次の関係式が成り立ちます。これをフックの法則と言います。

フックの法則
\begin{align*}
&\quad F = kx \\[ 10pt ]
&F: \ \text{ばねの弾性力の大きさ $\left[ N \right]$} \\[ 5pt ]
&k: \ \text{ばね定数 $\left[ N/m \right]$} \\[ 5pt ]
&x: \ \text{ばねの伸びまたは縮み $\left[ m \right]$}
\end{align*}

この式は中学で学習する内容ですが、弾性力の大きさとあるように、大きさだけのスカラー量を扱っています。もちろん、ばねの伸びや縮みも長さのことなのでスカラー量です。つまり、右辺にマイナスの符号が付いていないフックの法則では、スカラー量としての等式になります。

それに対して高校では、ばねの弾性力や伸び(縮み)をベクトル量として扱うので、一般に以下のように表されます。

フックの法則(右辺にマイナスの符号あり)
\begin{align*}
&\quad F(x) = -kx \\[ 10pt ]
&F: \ \text{ばねの弾性力 $\left[ N \right]$} \\[ 5pt ]
&k: \ \text{ばね定数 $\left[ N/m \right]$} \\[ 5pt ]
&x: \ \text{ばねの変位 $\left[ m \right]$}
\end{align*}

この式は、自然長からの伸びを表す変位と、ばね(物体)に作用している弾性力との間に成り立つ等式です。自然長からの伸びを表す変位と、ばねに作用している弾性力は、ともに大きさと向きをもつ一次元のベクトル量なので、この式はベクトル量としての等式になります。

ばねの弾性力をベクトル量として扱うと言っても、力にマイナスの符号が付くのは違和感を感じるかもしれません。ただ、この違和感の原因は、ばねが伸びたり縮んだりするときに弾性力がどのように働くのかをイメージできていないからです。

物理現象を理解した上で公式を覚えないと、様々な物理現象を扱った問題を解くことはできません。そうならないように、図解しながら学習することを心掛けましょう。

ばねが縮んだとき

水平方向にばねを伸び縮みさせるときを考えてみましょう。このとき、右向きを正の向きとし、右向きをプラス(+)、水平方向左向きをマイナス(-)で表します。また、ばね定数を $k \ \left[ N/m \right]$ とします。

図(a)はばねが自然長のときで、図(b)はばねが自然長から長さ $a \ \left[ m \right]$ だけ縮んだときを表しています。

ばねが自然長から縮んだとき

図(b)のように、ばねが自然長から左向きに $a \ \left[ m \right]$ だけ縮んだとき、ばねの変位を表すベクトルは $-a \ \left[ m \right]$となります。

また、ばねの右端(または右端に取り付けた物体)は、自然長に戻ろうとして右向きに大きさ $ka \ \left[ N \right]$ の弾性力を受けます。この弾性力を表すベクトルは $+ka \ \left[ N \right]$です。

このことから、自然長から $x \ \left[ m \right]$ だけ変位したとき、ばねの右端(または右端に取り付けた物体)の受ける弾性力を、向きを考慮して $F(x) \ \left[ N \right]$ とおくと、図(b)の場合は以下のような式が成り立ちます。

図(b)の場合の弾性力
\begin{equation*}
F(-a) = +ka
\end{equation*}

なお、$F(x)$ とおいたのは、変位の向き弾性力の向きとの関係が分かるようにするためです。

ばねが伸びたとき

ばねが自然長から右向きに長さ $b \ \left[ m \right]$ だけ伸びるときも同様です。

ばねが自然長から伸びたとき

図(c)のように、ばねが自然長から右向きに $b \ \left[ m \right]$ だけ伸びたとき、ばねの変位を表すベクトルは $+b \ \left[ m \right]$となります。

また、ばねの右端(または右端に取り付けた物体)は、自然長に戻ろうとして左向きに大きさ $kb \ \left[ N \right]$ の弾性力を受けます。この弾性力を表すベクトルは $-kb \ \left[ N \right]$です。

このことから、図(c)の場合、$F(x) \ \left[ N \right]$ について以下のような式が成り立ちます。

図(c)の場合の弾性力
\begin{equation*}
F(+b) = -kb
\end{equation*}

ばねの変位と弾性力の向きとの関係

図(b) , (c)を見ると分かるように、ばねの変位に対して、弾性力の向きは逆向きになっています。

変位の向きと弾性力の向きの関係

  • 図(b):変位は左向き(-)、弾性力は右向き(+)
  • 図(c):変位は右向き(+)、弾性力は左向き(-)

このことに気付くと、図(b) , (c)の両方を満たす式がどのようになるのかが分かってきます。

図(b) , (c)を満たす式
\begin{align*}
&\quad F(-a) = +ka = -k \cdot (-a) \\[ 5pt ]
&\quad F(+b) = -kb = -k \cdot (+b) \\[ 5pt ]
&\text{したがって} \\[ 5pt ]
&\quad F(x) = -kx
\end{align*}

$F(x) = -kx$ であれば、ばねの変位が正の場合でも負の場合でも、ベクトル量としての弾性力を求めることができます。

先ほども述べましたが、ばねの弾性力は、自然長から伸びると縮もうとする向きに働き、また、縮むと伸びようとする向きに働きます。このことを式に反映させたのがマイナスの符号です。

言い換えると、フックの法則の右辺にあるマイナスの符号は、自然長からの変位の向きと弾性力の向きとが常に逆向きであることを表しています。ですから、実際の物理現象をきちんと反映した式だと言えます。

もし、$F(x)=kx$とした場合、弾性力の大きさを得ることはできますが、弾性力の向きの情報を得ることはできません

高校物理では大きさだけでなく、向きも考慮に入れる必要があります。ですから、$F(x)=kx$ の式は正直なところ使い勝手が良くありません。

それに対して、 $F(x)=-kx$ の式は向きと大きさをもつベクトル量を正しく反映してくれるので、とても使い勝手が良い式です。ですから、向きと大きさの情報を一度で得ることができる $F(x)=-kx$ の式を使いこなせるようにしておきましょう。

$F(x)=kx$ はスカラー量を扱った式。$F(x)=-kx$ はベクトル量を扱った式。

さいごにもう一度

メガネ先生
メガネ先生

どうじゃ、分かったかの?

メガネ君
メガネ君

はいっ!
扱う数量がベクトル量かスカラー量かで式が違ったのですね。

メガネ先生
メガネ先生

その通りじゃ。

メガネ君
メガネ君

ベクトル量を扱うようになると、マイナスの符号ありの式を使わないと面倒だということも分かりました。

メガネ先生
メガネ先生

ちなみに、$F(x)=-kx$ はベクトル量を扱うことが分かるように、弾性力や変位を $\vec{ F } \ , \ \vec{ x }$と表記する場合もあるんじゃ。

メガネ君
メガネ君

矢印が付いていますねっ!
ベクトル量ってすぐに分かりますっ!

メガネ先生
メガネ先生

あとは公式そのものを覚えるのは大切じゃが、文字の定義も併せて覚えてほしいのぅ。

メガネ君
メガネ君

そうですね。
文字の定義には注意が向いていませんでした。

メガネ先生
メガネ先生

極端な話、文字は何でも良いわけじゃから、どんな数量を扱っているのかを単位も含めて覚えることが大切じゃよ。

メガネ君
メガネ君

仰る通りです。
これからは注意深く公式を覚えますっ!

メガネ先生
メガネ先生

めげないところがメガネ君の良いところじゃの。
次回も楽しみにしとるよ。

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