数学3|回転体を扱った入試問題を解いてみよう

02/24/2020数学体積,定積分,積分法,入試問題,回転体

今回、紹介する問題も図形問題の一種ですが、回転体の体積問題です。回転軸が x 軸と y 軸のどちらであっても、考え方に違いはありません。

図がないと間違いやすいので、きちんと作図して考えましょう。

過去問を解いてみよう

過去の入試問題になります。最初は力試しに自力で解いてみることをお勧めします。

問題
\begin{align*}
&\text{図形 $C: \ y^{\scriptsize{2}}+(x-1)^{\scriptsize{2}} \leqq 4$ を $y$ 軸まわりに} \\
&\text{回転させてできる立体の体積を求めよ。}
\end{align*}

自力で解けない人は、以下の「問題を解く前に」を確認しましょう。

問題を解く前に

方針を決めよう

マーク形式レベルであれば、方針に複数の候補がほとんど出てこないので、問題を読めばすぐに取り掛かれます。

それに対して、記述形式レベル(2次試験レベル)になると、方針の候補が1つではない問題が多くなります。ですから、できるだけ効率の良く解ける方針を採用しなければなりません。つまり、記述形式レベルを問題を解くには、記述する前に方針をきちんと決めることがとても大切になります。

図形問題であれば、図を見ながら方針を考えていくことになります。

回転体の体積は断面を重ね合わせる

回転体の体積を求めるときに注意すべきことがあります。

問題では「グラフや軸に囲まれた部分を回転させて回転体を作った」とありますが、平面図形を回転させて体積を求めてはいけません。積分ではこのようなやり方で体積を求めることはできません。

正しくは、回転軸に垂直な断面を重ね合わせて体積を求めます。面積でも細かな短冊の面積を足し合わせて面積を求めます。区分求積法をイメージすると分かりやすいかもしれません。

これと同じように、回転軸に垂直な断面の面積を足し合わせることによって、回転体の体積を求めます。

x 軸回りの回転体の場合は以下の通りです。グラフと x 軸に挟まれた部分の図形を回転させています。回転軸は xです。

x軸まわりの回転体の図

x 軸に対して垂直に回転体を切った断面の面積を、回転体の高さの範囲( a から b まで)で足し合わせます。断面は円となりますが、円の半径はグラフ上の点の y 座標です。

$x$ 軸まわりの回転体の体積
\begin{align*}
&\text{$y=f(x) \ , \ x=a \ , \ x=b$ のグラフと $x$ 軸に囲まれた部分を $x$ 軸まわりに} \\[ 5pt ]
&\text{回転させたときの回転体の体積 $V$ とする。} \\[ 5pt ]
&\text{また、回転軸に垂直で、$y=f(x)$ 上の任意の点 $(x \ , \ y)$ を通る断面の面積を $S$ とする。} \\[ 5pt ]
&\text{このとき、回転体の体積 $V$ は} \\[ 5pt ]
&\quad V=\int_a^b S dx \\[ 7pt ]
&\text{ここで} \\[ 5pt ]
&\quad S=\pi y^{\scriptsize{2}} \\[ 7pt ]
&\text{であるので} \\[ 5pt ]
&\quad V=\int_a^b {\pi y^{\scriptsize{2}}} dx \\[ 7pt ]
&\text{よって} \\[ 5pt ]
&\quad V=\pi \int_a^b {y^{\scriptsize{2}}} dx \\[ 7pt ]
&\text{さらに、$y=f(x)$ より} \\[ 5pt ]
&\quad V=\pi \int_a^b {\bigl\{f(x)^{\scriptsize{2}} \bigr\}} dx
\end{align*}

無数に切った断面の面積を足し合わせる作業を、a から b までの定積分で行うことができます。

y 軸回りの回転体の場合は以下の通りです。グラフと y 軸に挟まれた部分の図形を回転させています。回転軸は yです。

y軸まわりの回転体の図

y 軸に対して垂直に回転体を切った断面の面積を、回転体の高さの範囲( a から b まで)で足し合わせます。断面の円の半径は、グラフ上の点の x 座標です。

$x$ 軸まわりの回転体の体積
\begin{align*}
&\text{$y=f(x) \ , \ y=a \ , \ y=b$ のグラフと $y$ 軸に囲まれた部分を $y$ 軸まわりに} \\[ 5pt ]
&\text{回転させたときの回転体の体積 $V$ とする。} \\[ 5pt ]
&\text{また、回転軸に垂直で、$x=g(y)$ 上の任意の点 $(x \ , \ y)$ を通る断面の面積を $S$ とする。} \\[ 5pt ]
&\text{このとき、回転体の体積 $V$ は} \\[ 5pt ]
&\quad V=\int_a^b S dy \\[ 7pt ]
&\text{ここで} \\[ 5pt ]
&\quad S=\pi x^{\scriptsize{2}} \\[ 7pt ]
&\text{であるので} \\[ 5pt ]
&\quad V=\int_a^b {\pi x^{\scriptsize{2}}} dy \\[ 7pt ]
&\text{よって} \\[ 5pt ]
&\quad V=\pi \int_a^b {x^{\scriptsize{2}}} dy \\[ 7pt ]
&\text{さらに、$x=g(y)$ より} \\[ 5pt ]
&\quad V=\pi \int_a^b {\bigl\{g(y)^{\scriptsize{2}} \bigr\}} dy
\end{align*}

回転軸の両側に平面図形がある場合

平面図形を回転させる場合、回転軸が平面図形を通って左右、または上下に分割することがあります。このような場合、両側の平面図形をそれぞれ回転させて重なる部分と重ならない部分を把握することが大切です。

重なる部分であれば、大きい方の平面図形に含まれるので無視できます。しかし、重ならない部分であれば、その部分が影響するので考慮しなければなりません。

また、このような場合、たいてい余分な部分が出てくるので、それを除く処理が必要になります。

問題の解答・解説

問題で与えられた関数のグラフを図示すると以下の通りです。

回転体の図(問題)

与えられた式は不等式なので、不等式の表す領域は、円の周内部と周上、つまり円板となります。図では、回転体に影響する部分だけに色付けしてあるので勘違いしないようにしましょう。

回転軸は yです。回転させる平面図形は円板です。円板は y 軸によって2つに分割されています。

円の左側部分と右側部分をそれぞれ回転させてみましょう。左側部分は右側部分に含まれるので、右側部分だけで考えれば良いことが分かります。また、円板は x 軸に関して対称な図形になっていることも大切です。

問題の解答例①
\begin{align*}
&\text{円板 $C: \ y^{\scriptsize{2}}+(x-1)^{\scriptsize{2}} \leqq 4$ の周の方程式は} \\[ 5pt ]
&\quad y^{\scriptsize{2}}+(x-1)^{\scriptsize{2}} = 4 \\[ 7pt ]
&\text{より} \\[ 5pt ]
&\quad x=1 \pm \sqrt{4-y^{\scriptsize{2}}} \\[ 7pt ]
&\text{ここで} \\[ 5pt ]
&\quad C_{1} : \ x=1 + \sqrt{4-y^{\scriptsize{2}}} \quad \bigl( -1 \leqq x \leqq 1 \bigr) \\[ 7pt ]
&\quad C_{2} : \ x=1 – \sqrt{4-y^{\scriptsize{2}}} \quad \bigl( 1 \leqq x \leqq 3 \bigr) \\[ 7pt ]
&\text{とおく。} \\[ 5pt ]
&\text{$C_{2}$ のうち $y$ 軸の左側にある部分を $y$ 軸に関して対称移動すると、} \\[ 5pt ]
&\text{$C_{1}$ と $y$ 軸に挟まれる領域に含まれる。} \\[ 5pt ]
&\text{よって、円板 $C$ を $y$ 軸まわりに1回転させてできる立体の体積 $V$ は} \\[ 5pt ]
&\text{$x$ 軸に関する対称性も考慮すると} \\[ 5pt ]
&\quad V=2 \biggl\{ \pi \int_0^2 \bigl(1 + \sqrt{4-y^{\scriptsize{2}}} \bigr)^{\scriptsize{2}} dy-\pi \int_{\sqrt{3}}^2 \bigl(1 – \sqrt{4-y^{\scriptsize{2}}} \bigr)^{\scriptsize{2}} dy \biggr\}
\end{align*}

y 軸に平行で、円の中心を通る直線で、円周を切ったときの右側が C1 で、左側が C2 です。

余分な部分の図

この回転体では、C2 の一部が y 軸の右側にあることが影響します。周 C1y 軸に挟まれた図形だけを回転させると、余分な部分を含んだ回転体になってしまいます。余分な部分は、C2 の一部と y 軸に挟まれた図形を回転させてできる回転体に相当します。これを考慮したのが解答例①の最後の式です。

あとは丁寧に計算していきます。工夫することも忘れずに計算します。

問題の解答例②
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\quad V=2 \biggl\{ \pi \int_0^2 \bigl(1 + \sqrt{4-y^{\scriptsize{2}}} \bigr)^{\scriptsize{2}} dy -\pi \int_{\sqrt{3}}^2 \bigl(1 – \sqrt{4-y^{\scriptsize{2}}} \bigr)^{\scriptsize{2}} dy \biggr\} \\[ 7pt ]
&\text{整理すると} \\[ 5pt ]
&\quad V=2 \pi \Biggl[ \int_0^2 \biggl\{\bigl(5-y^{\scriptsize{2}} \bigr)+2\sqrt{4-y^{\scriptsize{2}}} \biggr\} dy -\int_{\sqrt{3}}^2 \biggl\{\bigl(5-y^{\scriptsize{2}} \bigr)-2\sqrt{4-y^{\scriptsize{2}}} \biggr\} dy \Biggr] \\[ 7pt ]
&\quad =2 \pi \biggl\{ \int_0^2 \bigl(5-y^{\scriptsize{2}} \bigr) dy-\int_{\sqrt{3}}^2 \bigl(5-y^{\scriptsize{2}} \bigr) dy +\int_0^2 2\sqrt{4-y^{\scriptsize{2}}} dy +\int_{\sqrt{3}}^2 2\sqrt{4-y^{\scriptsize{2}}} dy \biggr\} \\[ 7pt ]
&\quad =2 \pi \biggl\{ \int_0^{\sqrt{3}} \bigl(5-y^{\scriptsize{2}} \bigr) dy+4\int_0^2 \sqrt{4-y^{\scriptsize{2}}} dy -2\int_0^{\sqrt{3}} \sqrt{4-y^{\scriptsize{2}}} dy \biggr\} \quad \text{…①}
\end{align*}

①式に至るまでに、定積分の性質を利用して変形しています。

定積分の性質を上手に利用しよう
\begin{align*}
&\underline{\int_0^2 \bigl(5-y^{\scriptsize{2}} \bigr) dy}-\int_{\sqrt{3}}^2 \bigl(5-y^{\scriptsize{2}} \bigr) dy \\[ 7pt ]
&\underline{\int_0^{\sqrt{3}} \bigl(5-y^{\scriptsize{2}} \bigr) dy+\int_{\sqrt{3}}^2 \bigl(5-y^{\scriptsize{2}} \bigr) dy}-\int_{\sqrt{3}}^2 \bigl(5-y^{\scriptsize{2}} \bigr) dy \\[ 7pt ]
=&\int_0^{\sqrt{3}} \bigl(5-y^{\scriptsize{2}} \bigr) dy \\[ 10pt ]
&\int_0^2 2\sqrt{4-y^{\scriptsize{2}}} dy +\underline{\int_{\sqrt{3}}^2 2\sqrt{4-y^{\scriptsize{2}}} dy} \\[ 7pt ]
=&\int_0^2 2\sqrt{4-y^{\scriptsize{2}}} dy +\underline{\int_0^2 2\sqrt{4-y^{\scriptsize{2}}} dy-\int_0^{\sqrt{3}} 2\sqrt{4-y^{\scriptsize{2}}} dy} \\[ 7pt ]
=&2\int_0^2 2\sqrt{4-y^{\scriptsize{2}}} dy-\int_0^{\sqrt{3}} 2\sqrt{4-y^{\scriptsize{2}}} dy \\[ 7pt ]
=&4\int_0^2 \sqrt{4-y^{\scriptsize{2}}} dy-2\int_0^{\sqrt{3}} \sqrt{4-y^{\scriptsize{2}}} dy
\end{align*}

①式の中には3つの定積分があります。計算過程が煩雑になるので、別々に計算します。

問題の解答例③
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\quad =2 \pi \biggl\{ \int_0^{\sqrt{3}} \bigl(5-y^{\scriptsize{2}} \bigr) dy+4\int_0^2 \sqrt{4-y^{\scriptsize{2}}} dy -2\int_0^{\sqrt{3}} \sqrt{4-y^{\scriptsize{2}}} dy \biggr\} \quad \text{…①} \\[ 7pt ]
&\text{ここで} \\[ 5pt ]
&\quad \int_0^{\sqrt{3}} \bigl(5-y^{\scriptsize{2}} \bigr) dy=\biggl[ 5y-\frac{1}{3}y^{\scriptsize{3}} \biggr]_0^{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}
\end{align*}

1つ目の定積分は素直に計算します。残りの2つは工夫すると簡単に計算できます。

問題の解答例④
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\quad \int_0^{\sqrt{3}} \bigl(5-y^{\scriptsize{2}} \bigr) dy=\biggl[ 5y-\frac{1}{3}y^{\scriptsize{3}} \biggr]_0^{\sqrt{3}}=4 \sqrt{3} \\[ 7pt ]
&\text{また、} \\[ 5pt ]
&\quad \int_0^2 \sqrt{4-y^{\scriptsize{2}}} dy \\[ 7pt ]
&\text{は四分円の面積であるので} \\[ 5pt ]
&\quad \pi \cdot 2^{\scriptsize{2}} \cdot \frac{1}{4}=\pi
\end{align*}

四分円の図

定積分が円の面積に相当することが分かっていれば、わざわざ定積分の計算をする必要はありません。よく利用するので覚えておくと良いでしょう。

円の面積に置換できる定積分
\begin{align*}
&\quad \int_0^{a} \sqrt{a^{\scriptsize{2}}-x^{\scriptsize{2}}} dx=\frac{1}{4} \pi a^{\scriptsize{2}} \\[ 10pt ]
&\text{定積分の式において} \\[ 5pt ]
&\quad y=\sqrt{a^{\scriptsize{2}}-x^{\scriptsize{2}}} \\[ 7pt ]
&\text{とおくと} \\[ 5pt ]
&\quad x^{\scriptsize{2}}+y^{\scriptsize{2}}=a^{\scriptsize{2}} \quad \text{(ただし、$0 \leqq x \leqq a$ )} \\[ 7pt ]
&\text{となるので、周の一部(第1象限)を表す。} \\[ 5pt ]
&\text{定積分は、この周の一部と $x$ 軸に挟まれる部分の} \\[ 5pt ]
&\text{面積となるので、四分円の面積に相当する。}
\end{align*}

3つ目も同様ですが、もう少し工夫が必要です。

問題の解答例⑤
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\quad \frac{\pi}{4} \cdot 2^{\scriptsize{2}}=\pi \\[ 7pt ]
&\text{同様に、} \\[ 5pt ]
&\quad \int_0^{\sqrt{3}} \sqrt{ 4-y^{\scriptsize{2}} } dy \\[ 7pt ]
&\text{は扇形と直角三角形の面積の和であるので} \\[ 5pt ]
&\quad \pi \cdot 2^{\scriptsize{2}} \cdot \frac{1}{6}+\frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot 1=\frac{2}{3} \pi+\frac{\sqrt{3}}{2}
\end{align*}

扇形と直角三角形

定積分の式の dy から、変数は y です。グラフと y 軸に挟まれた部分(ただし、$0 \leqq y \leqq \sqrt{3}$ )が求める面積です。分割すると扇形と直角三角形になるので、別々に面積を求めて足します。もちろん、定積分をそのまま計算しても良いのですが、かなり面倒です。

さいごに①式に代入して、回転体の体積を求めます。定積分だけを足すのではなく、①式にきちんと代入しましょう。係数にも注意しましょう。

問題の解答例⑥
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\quad \pi \cdot 2^{\scriptsize{2}} \cdot \frac{1}{6}+\frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot 1=\frac{2}{3} \pi+\frac{\sqrt{3}}{2} \\[ 7pt ]
&\text{これらを①に代入して} \\[ 5pt ]
&\quad V=2 \pi \biggl\{ 4\sqrt{3}+4 \pi-2\biggl( \frac{2}{3} \pi+\frac{\sqrt{3}}{2} \biggr) \biggr\} \\[ 7pt ]
&\text{整理すると} \\[ 5pt ]
&\quad V=2 \pi \biggl( 3\sqrt{3}+\frac{8}{3} \pi \biggr)
\end{align*}

入試レベルの問題では、よく考えないとなかなか解けないものが多いです。思考力が鍛えられるので、日頃から標準レベル以上の問題に積極的に取り組みたいところです。

共通テストでは「思考力・表現力・判断力」を試す問題が多く出題されることが分かっています。そのような問題に対応するためにも、覚えれば解けるような問題よりも、方針が必要な問題を多くこなすことが大切です。

Recommended books
[affi id=75]

[affi id=74]

河合塾数学科の考える「思考力・判断力・表現力」をまとめ、これに基づいて過去の入試問題を分析し、その中から思考力を養うために経験しておきたい問題を収集し解答・解説を収録。また、思考調査の問題を参考にして「共通テスト型問題」を作成。

[affi id=28]

[affi id=27]

実は、この本は、他のどんな数学の参考書よりも効果があるかもしれないと思っています。「記述式答案の書き方」という書名で、実際そのような内容なのですが……。それはなぜなのか?
つまり、答案の書き方をきちんと説明するためには、数学の基本構造を解説せざるを得ません。それゆえ、数学そのものを深く深く学んでしまうという、普通の参考書とは全く次元が異なる本になってしまっているのです。
例えば、「根拠とは」というセクションがあったりします。その中の「熱がある。だから病院に行く。」と「熱があるならば病院へ行く。」の違いについて考えるところがあるのですが……。(本当に違うのかな?)
「なので」と「ならば」の違いなど、言葉づかいの解説は、数学の本質的な内容であることに気づかされ、いつの間にか、深い理解に到達してしまいます。
とにかく、編集者でさえ、読んだこともない内容が盛りだくさんなんです。(特に、同値記号の乱用と誤用の解説、分数式を含む恒等式の問題、軌跡の十分性の議論などは必読です。)
本書は高校生の皆さんだけではなく、数学のプロの方(理系の大学生、数学の先生)にも役立つのではないかと思っています。